Question Number 117620 by Dwaipayan Shikari last updated on 12/Oct/20
$${x}^{\mathrm{4}} −\lfloor\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} \rfloor+\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$
Answered by mr W last updated on 12/Oct/20
$${x}^{\mathrm{4}} =\lfloor\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} \rfloor−\mathrm{4}\:\in{Z} \\ $$$$\Rightarrow{x}\in{Z} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} \in{Z} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\pm\mathrm{1},\pm\mathrm{2} \\ $$
Commented by floor(10²Eta[1]) last updated on 12/Oct/20
$$\mathrm{missing}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solutions}\:\pm^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{14}}\:\mathrm{and}\:\pm^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{15}} \\ $$
Commented by mr W last updated on 13/Oct/20
$${yes},\:{you}\:{are}\:{right}! \\ $$
Answered by AbduraufKodiriy last updated on 12/Oct/20
$$\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} =\boldsymbol{{t}} \\ $$$$\boldsymbol{{t}}^{\mathrm{2}} −\lfloor\mathrm{5}\boldsymbol{{t}}\rfloor+\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\lfloor\mathrm{5}\boldsymbol{{t}}\rfloor=\boldsymbol{{t}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\:\in\:\boldsymbol{{Z}} \\ $$$$\left\{\mathrm{5}\boldsymbol{{t}}\right\}=−\left(\boldsymbol{{t}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\boldsymbol{{t}}+\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{0}\leqslant−\left(\boldsymbol{{t}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\boldsymbol{{t}}+\mathrm{4}\right)<\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{t}}\in\left[\mathrm{1};\:\frac{\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)\cup\left(\frac{\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}};\:\mathrm{4}\right] \\ $$$$\boldsymbol{{Thus}},\:\left(\boldsymbol{{t}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\right)\in\left[\mathrm{5};\:\frac{\mathrm{23}−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)\cup\left(\frac{\mathrm{23}+\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}};\:\mathrm{20}\right] \\ $$$$\boldsymbol{{approximately}}:\:\left(\boldsymbol{{t}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\right)\in\left[\mathrm{5};\:\mathrm{5}.\mathrm{9}\right)\cup\left(\mathrm{17}.\mathrm{09};\:\mathrm{20}\right] \\ $$$$\left.\boldsymbol{{S}}\left.\boldsymbol{{o}},\:\mathrm{1}\right)\:\boldsymbol{{t}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}=\mathrm{5}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{t}}=\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}\right)\:\boldsymbol{{t}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}=\mathrm{18}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{t}}=\sqrt{\mathrm{14}}; \\ $$$$\left.\mathrm{3}\left.\right)\:\boldsymbol{{t}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}=\mathrm{19}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{t}}=\sqrt{\mathrm{15}};\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{4}\right)\:\boldsymbol{{t}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}=\mathrm{20}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{t}}=\mathrm{4} \\ $$$$\boldsymbol{{Answer}}:\:\boldsymbol{{x}}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\pm\mathrm{1},\:\boldsymbol{{x}}_{\mathrm{3},\mathrm{4}} =\pm\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{14}},\:\boldsymbol{{x}}_{\mathrm{5},\mathrm{6}} =\pm\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{15}},\:\boldsymbol{{x}}_{\mathrm{7},\mathrm{8}} =\pm\mathrm{2} \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 12/Oct/20
$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\lfloor\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} \rfloor=−\mathrm{4}\in\mathbb{Z} \\ $$$$\mathrm{but}\:\lfloor\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} \rfloor\in\mathbb{Z}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \in\mathbb{N} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\in\mathbb{Z}\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}=\pm^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{a}},\:\mathrm{a}\in\mathbb{N} \\ $$$$\lfloor\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{n}\Rightarrow\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{n}+\theta,\:\mathrm{n}\in\mathbb{Z},\:\mathrm{0}\leqslant\theta<\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{n}+\theta}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2n}\theta+\theta^{\mathrm{2}} }{\mathrm{25}} \\ $$$$\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2n}\theta+\theta^{\mathrm{2}} }{\mathrm{25}}−\mathrm{n}+\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}\theta−\mathrm{25}\right)\mathrm{n}+\mathrm{100}+\theta^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{n}=\frac{\mathrm{25}−\mathrm{2}\theta\pm\sqrt{\mathrm{225}−\mathrm{100}\theta}}{\mathrm{2}}\in\mathbb{Z} \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{0}\leqslant\theta<\mathrm{1}\:\mathrm{so}: \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{case}: \\ $$$$\mathrm{15}\geqslant\sqrt{\mathrm{225}−\mathrm{100}\theta}>\mathrm{11} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{40}\geqslant\mathrm{40}−\mathrm{2}\theta\geqslant\mathrm{25}−\mathrm{2}\theta+\sqrt{\mathrm{225}−\mathrm{100}\theta}>\mathrm{36}−\mathrm{2}\theta>\mathrm{34} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{20}\geqslant\mathrm{n}>\mathrm{17}\therefore\mathrm{n}\in\left\{\mathrm{18},\mathrm{19},\mathrm{20}\right\} \\ $$$$\mathrm{II}\:\mathrm{case}: \\ $$$$\mathrm{8}<\mathrm{10}−\mathrm{2}\theta\leqslant\mathrm{25}−\mathrm{2}\theta−\sqrt{\mathrm{225}−\mathrm{100}\theta}<\mathrm{14}−\mathrm{2}\theta\leqslant\mathrm{14} \\ $$$$\mathrm{4}<\mathrm{n}<\mathrm{7}\Rightarrow\mathrm{n}\in\left\{\mathrm{5},\mathrm{6}\right\} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{5}+\theta}{\mathrm{5}}=\mathrm{1}+\frac{\theta}{\mathrm{5}}\Rightarrow\mathrm{1}\leqslant\mathrm{x}^{\mathrm{2}} <\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{5}}=\mathrm{1}.\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{x}=\pm\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{6}\left(\mathrm{no}\:\mathrm{sol}.\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{18} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{18}+\theta}{\mathrm{5}}\Rightarrow\mathrm{3}.\mathrm{6}\leqslant\mathrm{x}^{\mathrm{2}} <\mathrm{3}.\mathrm{8}\Rightarrow\mathrm{x}\notin\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\sqrt{\mathrm{a}},\:\mathrm{a}\in\mathbb{N}\Rightarrow\mathrm{3}.\mathrm{6}^{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{a}<\mathrm{3}.\mathrm{8}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{a}\in\left\{\mathrm{13},\mathrm{14}\right\} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\pm^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{14}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{19} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{19}+\theta}{\mathrm{5}}\Rightarrow\mathrm{3}.\mathrm{8}\leqslant\mathrm{x}^{\mathrm{2}} <\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{x}\notin\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\sqrt{\mathrm{a}}\:\Rightarrow\mathrm{3}.\mathrm{8}^{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{a}<\mathrm{16}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{15} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\pm^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{15}} \\ $$$$\mathrm{n}=\mathrm{20} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{20}+\theta}{\mathrm{5}}\Rightarrow\mathrm{4}\leqslant\mathrm{x}^{\mathrm{2}} <\mathrm{5}\Rightarrow\mathrm{x}=\pm\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{are}: \\ $$$$\mathrm{x}=\left\{\pm\mathrm{1},\:\pm^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{14}},\:\pm^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{15}},\:\pm\mathrm{2}\right\} \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 12/Oct/20
$${Thanking}\:{all}\:{of}\:{you} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 12/Oct/20
$$\mathrm{let}\:{x}={t}^{\mathrm{1}/\mathrm{4}} \\ $$$${t}−\lfloor\mathrm{5}\sqrt{{t}}\rfloor+\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$${n}\leqslant\mathrm{5}\sqrt{{t}}<{n}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{25}}\leqslant{t}<\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{25}} \\ $$$$\mathrm{let}\:{t}=\frac{\left({n}+\alpha\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{25}}\:\mathrm{with}\:\mathrm{0}\leqslant\alpha<\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\lfloor\mathrm{5}\sqrt{{t}}\rfloor={n} \\ $$$$\frac{\left({n}+\alpha\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{25}}+−{n}+\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}\alpha−\mathrm{25}\right){n}+\alpha^{\mathrm{2}} +\mathrm{100}=\mathrm{0} \\ $$$${n}=\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{2}}−\alpha\pm\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{9}−\mathrm{4}\alpha} \\ $$$$\mathrm{0}\leqslant\alpha<\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{5}\leqslant{n}_{−} <\frac{\mathrm{23}−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\approx\mathrm{5}.\mathrm{9}\:\wedge\:\frac{\mathrm{23}+\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\approx\mathrm{17}.\mathrm{09}<{n}_{+} \leqslant\mathrm{20} \\ $$$${n}\in\mathbb{N}\:\Rightarrow \\ $$$$\alpha=\mathrm{0}\wedge{n}_{−} =\mathrm{5} \\ $$$$\alpha=\mathrm{0}\wedge{n}_{+} =\mathrm{20} \\ $$$$\alpha=−\mathrm{19}+\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{15}}\wedge{n}_{+} =\mathrm{19} \\ $$$$\alpha=−\mathrm{18}+\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{14}}\wedge{n}_{+} =\mathrm{18} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${t}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{x}=\pm\mathrm{1} \\ $$$${t}=\mathrm{16}\:\Rightarrow\:{x}=\pm\mathrm{2} \\ $$$${t}=\mathrm{15}\:\Rightarrow\:{x}=\pm\mathrm{15}^{\mathrm{1}/\mathrm{4}} \\ $$$${t}=\mathrm{14}\:\Rightarrow\:{x}=\pm\mathrm{14}^{\mathrm{1}/\mathrm{4}} \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 12/Oct/20
$$\mathrm{tried}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{a}\:\mathrm{shorter}\:\mathrm{path}… \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 13/Oct/20
$${x}^{\mathrm{4}} −\lfloor\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} \rfloor+\mathrm{4}=\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\right).\mathrm{Put}\:\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}=\mathrm{t}\left(\mathrm{t}\geqslant\mathrm{4}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\sqrt{\mathrm{t}−\mathrm{4}}.\mathrm{Then}\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\left[\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{t}−\mathrm{4}}\right]=\mathrm{t}\left(\ast\right) \\ $$$$\mathrm{By}\:\mathrm{the}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{of}\:\mathrm{function}\:\left[\mathrm{x}\right]\mathrm{we} \\ $$$$\mathrm{have}\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{t}−\mathrm{4}}−\mathrm{t}<\mathrm{1} \\ $$$$\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{t}−\mathrm{4}}\geqslant\mathrm{t}\left(\mathrm{1}\right)}\\{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{t}−\mathrm{4}}<\mathrm{t}+\mathrm{1}\left(\mathrm{2}\right)}\end{cases}\left(\ast\ast\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\mathrm{25}\left(\mathrm{t}−\mathrm{4}\right)\geqslant\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \Leftrightarrow\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{25t}+\mathrm{100}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{t}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{t}−\mathrm{20}\right)\leqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{5}\leqslant\mathrm{t}\leqslant\mathrm{20}.\mathrm{Since} \\ $$$$\mathrm{t}\geqslant\mathrm{4},\mathrm{so}\:\mathrm{by}\left(\ast\right)\Rightarrow\mathrm{t}\in\mathrm{N}\Rightarrow\mathrm{t}\in\left\{\mathrm{5},\mathrm{6},…,\mathrm{20}\right\}\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\Leftrightarrow\mathrm{25}\left(\mathrm{t}−\mathrm{4}\right)<\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2t}+\mathrm{1} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{23t}+\mathrm{101}>\mathrm{0}\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{t}\in\left(−\infty,\frac{\mathrm{23}−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)\cup\left(\frac{\mathrm{23}+\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}},+\infty\right) \\ $$$$\mathrm{5}.\mathrm{9}\approx\frac{\mathrm{23}−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\frac{\mathrm{23}+\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\approx\mathrm{17}.\mathrm{09} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{t}\in\left\{\mathrm{4},\mathrm{5}\right\}\cup\left\{\mathrm{18},\mathrm{19},\mathrm{20},\mathrm{21},…\right\}\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{Combining}\:\left(\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{4}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get}\: \\ $$$$\mathrm{t}\in\left\{\mathrm{5},\mathrm{18},\mathrm{19},\mathrm{20}\right\}\mathrm{are}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{system}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{inequalities}\:\left(\ast\ast\right) \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{t}=\mathrm{5}\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}=\mathrm{5}\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{1}\Leftrightarrow\mathrm{x}=\pm\mathrm{1} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{t}=\mathrm{18}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}=\mathrm{18}\Leftrightarrow\mathrm{x}=\pm\:^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{14}} \\ $$$$\left.\mathrm{iii}\right)\mathrm{t}=\mathrm{19}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}=\mathrm{19}\Leftrightarrow\mathrm{x}=\pm^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{15}} \\ $$$$\left.\mathrm{iv}\right)\mathrm{t}=\mathrm{20}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}=\mathrm{20}\Leftrightarrow\mathrm{x}=\pm\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system}\:\left(\ast\ast\right)\:\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{x}\in\left\{\pm\mathrm{1};\pm\mathrm{2},\pm\:^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{14}},\:\pm\:^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{15}}\right\}\mathrm{that}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{answer}\:\mathrm{of}\:\mathrm{our}\:\mathrm{problem}. \\ $$
Commented by floor(10²Eta[1]) last updated on 13/Oct/20
$$\pm^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{14}}\:\mathrm{and}\:\pm^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{15}}\:\mathrm{are}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{too} \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 13/Oct/20
$$\mathrm{I}\:\mathrm{mistaked}\:\mathrm{and}\:\mathrm{corrected}.\mathrm{Thank}\:\mathrm{sir} \\ $$