Question Number 19666 by Joel577 last updated on 14/Aug/17
$$\int\:{x}^{\mathrm{4}} \sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}}\:{dx} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 14/Aug/17
$$\:\mathrm{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2x}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{C}_{\mathrm{0}} \:\:\:\:\:….\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\:\mathrm{I}_{\mathrm{1}} =\int\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\:\Rightarrow\:\:\:\mathrm{xdx}=\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{dt}}{\:\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}} \\ $$$$\:\mathrm{I}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}\int\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \right)\frac{\mathrm{dt}}{\:\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\int\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\int\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2t}\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\int\left(\mathrm{2t}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} +\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}×\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}/\mathrm{2}} +\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{15}}\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:\:\:..\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{from}\:\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{ii}\right): \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{15}}+\mathrm{C}\:. \\ $$