Question Number 150181 by liberty last updated on 10/Aug/21
$$\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{x}=? \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 13/Aug/21
$$\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{x}=? \\ $$$$\:\left(\underset{{a}} {\underbrace{\mathrm{x}−\mathrm{6}}}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\underset{{b}} {\underbrace{\mathrm{x}−\mathrm{5}}}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\underset{{c}} {\underbrace{\mathrm{x}−\mathrm{4}}}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} +{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{abc}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({a}+{b}+{c}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{ab}−{bc}−{ca}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${a}+{b}+{c}=\mathrm{0}\:\vee\:{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{ab}−{bc}−{ca}=\mathrm{0} \\ $$$$\:^{\bullet} {a}+{b}+{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\:=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{3x}−\mathrm{15}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{5} \\ $$$$\:^{\bullet} \:{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{ab}−{bc}−{ca}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:−\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)−\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12x}+\mathrm{36}\right)+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10x}+\mathrm{25}\right)+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8x}+\mathrm{16}\right) \\ $$$$\:\:−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{11x}+\mathrm{30}\right)−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9x}+\mathrm{20}\right)−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10x}+\mathrm{24}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{30x}+\mathrm{30x}+\mathrm{77}−\mathrm{74}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{5}\: \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 13/Aug/21
$$\mathrm{LOT}\:\mathrm{of}\:\mathrm{Than}\Bbbk\mathrm{s}\:\mathbb{S}\mathrm{ir} \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 11/Aug/21
$$\mathrm{there}'\mathrm{s}\:\mathrm{only}\:\mathrm{one}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\left({x}−{a}\right)^{\mathrm{3}} +\left({x}−{b}\right)^{\mathrm{3}} +\left({x}−{c}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}\left({x}−{a}\right)\left({x}−{b}\right)\left({x}−{c}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left({a}+{b}+{c}\right){x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} \right){x}−\left({a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} +{c}^{\mathrm{3}} \right)= \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left({a}+{b}+{c}\right){x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left({ab}+{ac}+{bc}\right){x}−\mathrm{3}{abc} \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{3}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{ab}−{ac}−{bc}\right){x}={a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} +{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{abc} \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{3}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{ab}−{ac}−{bc}\right){x}= \\ $$$$\:\:\:\:\:=\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{ab}−{ac}−{bc}\right)\left({a}+{b}+{c}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$${x}=\frac{{a}+{b}+{c}}{\mathrm{3}} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 13/Aug/21
$$\boldsymbol{\mathrm{sir}},\:{where}\:{is}\:{the}\:{spot},{where}\:{I}\:{should} \\ $$$${reject}\:{x}=\mathrm{3}/\mathrm{10}\:{in}\:{my}\:{solution}? \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 13/Aug/21
$$\mathrm{mistake}:\:\left({x}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \neq\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{20}{x}+\mathrm{25}\right) \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{2}^{\mathrm{nd}} \:\mathrm{factor}\:\mathrm{besides}\:\left({a}+{b}+{c}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{3}\neq\mathrm{0} \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 13/Aug/21
$$\mathrm{you}'\mathrm{re}\:\mathrm{welcome}! \\ $$