Question Number 97417 by MJS last updated on 08/Jun/20
$$\int\frac{{x}}{{a}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}}{dx}=? \\ $$
Answered by MJS last updated on 08/Jun/20
$$\mathrm{just}\:\mathrm{found}\:\mathrm{a}\:\mathrm{path}: \\ $$$$\mathrm{sin}\:{x}\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{i}{x}} }{\mathrm{2i}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\int\frac{{x}}{{a}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}}{dx}=\mathrm{4}\int\frac{{x}\mathrm{e}^{\mathrm{2i}{x}} }{\mathrm{4}{a}\mathrm{e}^{\mathrm{2i}{x}} −\left(\mathrm{e}^{\mathrm{2i}{x}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\mathrm{e}^{\mathrm{2i}{x}} −\mathrm{1}\:\rightarrow\:{dx}=−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2e}^{\mathrm{2i}{x}} }{dx}\right] \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{ln}\:\left({t}+\mathrm{1}\right)}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{at}−\mathrm{4}{a}}{dt} \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{we}\:\mathrm{need}\:\mathrm{to}\:\mathrm{factorize}\:\mathrm{and}\:\mathrm{decompose} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{substitute}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get}\:\mathrm{integrals}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{shape} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}−{u}\right)}{{u}}{du}=−\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \:\left({u}\right) \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{think}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{only}\:\mathrm{hard}\:\mathrm{to}\:\mathrm{type}… \\ $$