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x-x-dx-

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Question Number 105722 by bemath last updated on 31/Jul/20
∫ (√(x−(√x))) dx
$$\int\:\sqrt{{x}−\sqrt{{x}}}\:{dx}\: \\ $$
Commented by bemath last updated on 31/Jul/20
thank you all
$${thank}\:{you}\:{all}\: \\ $$
Answered by bobhans last updated on 31/Jul/20
let (√x) = t ⇒x = t^2 ∫(√(t^2 −t)) (2t dt) = ∫ 2t(√(t^2 −t)) dt ∫2t(√((t−(1/2))^2 −((1/2))^2 )) dt = let t−(1/2) = (1/2)sec w ∫ 2((1/2)+(1/2)sec w)(1/2)tan w. (1/2)sec w tan w dw = (1/4)∫(1+sec w)sec w tan^2 w dw = (1/4)∫ sec w tan^2 w dw + (1/4)∫tan^2 w d(tan w) = (1/(12))tan^3 w + (1/4)∫(sec^2 w−1)sec w dw =(1/(12))tan^3 w−(1/4)ln ∣sec w+tan w∣ +(1/4)∫sec^3 w dw = (1/(12))tan^3 w−(1/4)ln ∣sec w+tan w∣+(1/8)tan w sec w + (1/8)ln ∣tan ((w/2)+(π/4))∣ + c
$${let}\:\sqrt{{x}}\:=\:{t}\:\Rightarrow{x}\:=\:{t}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\int\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} −{t}}\:\left(\mathrm{2}{t}\:{dt}\right)\:=\:\int\:\mathrm{2}{t}\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} −{t}}\:{dt}\: \\ $$$$\int\mathrm{2}{t}\sqrt{\left({t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }\:{dt}\:= \\ $$$${let}\:{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sec}\:{w}\: \\ $$$$\int\:\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sec}\:{w}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{tan}\:{w}.\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sec}\:{w}\:\mathrm{tan}\:{w}\:{dw} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{sec}\:{w}\right)\mathrm{sec}\:{w}\:\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {w}\:{dw}\: \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\:\mathrm{sec}\:{w}\:\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {w}\:{dw}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {w}\:{d}\left(\mathrm{tan}\:{w}\right) \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{tan}\:^{\mathrm{3}} {w}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left(\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} {w}−\mathrm{1}\right)\mathrm{sec}\:{w}\:{dw} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{tan}\:^{\mathrm{3}} {w}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{sec}\:{w}+\mathrm{tan}\:{w}\mid\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\mathrm{sec}\:^{\mathrm{3}} {w}\:{dw} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{tan}\:^{\mathrm{3}} {w}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{sec}\:{w}+\mathrm{tan}\:{w}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{tan}\:{w}\:\mathrm{sec}\:{w} \\ $$$$+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{tan}\:\left(\frac{{w}}{\mathrm{2}}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\mid\:+\:{c}\: \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 31/Jul/20
x=u^2 ∫2u(√(u^2 −u)) du ∫2u(√(u^2 −u))−(√(u^2 −u))+(√(u^2 −u )) du ∫(2u−1)(√(u^2 −u )) du+ (√(u^2 −u ))du (u^2 −u)=p^2 ,2u−1=2p(dp/du) ∫2p^2 dp+∫(√((u−(1/2))^2 −(1/4))) (2/3)(u^2 −u)^3 +((u−(1/2))/2)(√(u^2 −u))−(1/8)log(u−(1/2)+(√(u^2 −u)))+C =(2/3)(x−(√x))^3 +((2(√x)−1)/4)(√(x−(√x)))−(1/8)log((√x)−(1/2)+(√(x−(√x))))+C
$${x}={u}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\int\mathrm{2}{u}\sqrt{{u}^{\mathrm{2}} −{u}}\:{du} \\ $$$$\int\mathrm{2}{u}\sqrt{{u}^{\mathrm{2}} −{u}}−\sqrt{{u}^{\mathrm{2}} −{u}}+\sqrt{{u}^{\mathrm{2}} −{u}\:}\:{du} \\ $$$$\int\left(\mathrm{2}{u}−\mathrm{1}\right)\sqrt{{u}^{\mathrm{2}} −{u}\:}\:{du}+\:\sqrt{{u}^{\mathrm{2}} −{u}\:\:}{du}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({u}^{\mathrm{2}} −{u}\right)={p}^{\mathrm{2}} \:,\mathrm{2}{u}−\mathrm{1}=\mathrm{2}{p}\frac{{dp}}{{du}} \\ $$$$\int\mathrm{2}{p}^{\mathrm{2}} {dp}+\int\sqrt{\left({u}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left({u}^{\mathrm{2}} −{u}\right)^{\mathrm{3}} +\frac{{u}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\sqrt{{u}^{\mathrm{2}} −{u}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{log}\left({u}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sqrt{{u}^{\mathrm{2}} −{u}}\right)+{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left({x}−\sqrt{{x}}\right)^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{2}\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sqrt{{x}−\sqrt{{x}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{log}\left(\sqrt{{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sqrt{{x}−\sqrt{{x}}}\right)+{C} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Jul/20
I =∫(√(x−(√x)))dx we do the changement (√x)=t ⇒ I =∫(√(t^2 −t))(2t)dt =2∫ t(√(t^2 −t))dt =2∫t(√(t^2 −2(t/2)+(1/4)−(1/4)))dt =2∫ t(√((t−(1/2))^2 −(1/4)))dt =_(t−(1/2)=(1/2)ch(u)) 2 ∫((1/2)+(1/2)chu)×(1/2)shu (1/2)shu du =(1/4) ∫(1+chu)sh^2 u du =(1/4) ∫sh^2 u du +(1/4) ∫ chu sh^2 u du =(1/4) ∫((ch(2u)−1)/2)du +(1/(12))sh^3 (u) =(1/8)∫ ch(2u)du−(u/8) +(1/(12))sh^3 (u) =(1/(16))sh(2u) −(u/8) +(1/(12))sh^3 (u)+C =(1/8)shu chu−(u/8) +(1/(12))(sh^2 u)^(3/2) +C but 2t−1 =chu ⇒u =argch(2t−1) =ln(2t−1+(√((2t−1)^2 −1))) sh(u) =(√(ch^2 u−1)) ⇒ I =(1/8)(2t−1)(√((2t−1)^2 −1)) −(1/8)ln(2t−1+(√((2t−1)^2 −1))) +(1/(12))((2t−1)^2 −1)^(3/2) +C
$$\mathrm{I}\:=\int\sqrt{\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{dx}\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\sqrt{\mathrm{x}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt}\:=\mathrm{2}\int\:\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\int\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{2}\int\:\mathrm{t}\sqrt{\left(\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\mathrm{dt} \\ $$$$=_{\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ch}\left(\mathrm{u}\right)} \:\:\:\:\mathrm{2}\:\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{chu}\right)×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{shu}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{shu}\:\mathrm{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{chu}\right)\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}\:\mathrm{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\int\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}\:\mathrm{du}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\int\:\mathrm{chu}\:\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}\:\mathrm{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\int\frac{\mathrm{ch}\left(\mathrm{2u}\right)−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{du}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{sh}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{u}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{2u}\right)\mathrm{du}−\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{8}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{sh}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{u}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{sh}\left(\mathrm{2u}\right)\:−\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{8}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{sh}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{C}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{shu}\:\mathrm{chu}−\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{8}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\left(\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \:+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{2t}−\mathrm{1}\:=\mathrm{chu}\:\Rightarrow\mathrm{u}\:=\mathrm{argch}\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}+\sqrt{\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{sh}\left(\mathrm{u}\right)\:=\sqrt{\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}−\mathrm{1}}\:\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}+\sqrt{\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right) \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\left(\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \:+\mathrm{C} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 31/Jul/20
t=(√x) ⇒ I =(1/8)(2(√x)−1)(√((2(√x)−1)^2 −1))−(1/8)ln(2(√x)−1+(√((2(√x)−1)^2 −1))) +(1/(12)){(2(√x)−1)^2 −1)^(3/2) +C
$$\mathrm{t}=\sqrt{\mathrm{x}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}+\sqrt{\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right) \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\left\{\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \:+\mathrm{C}\: \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 31/Jul/20
Set (√x)=u⇒du=(1/(2(√x)))dx=(dx/(2u))⇒dx=2udu F=∫2u(√(u^2 −u)) du=2∫u(√u) (√(u−1)) du Set 1−(1/u)=v^2 ⇒2vdv=(1/u^2 )du⇒du=2vu^2 dv (√(u−1)) =v(√(u−)) ,u=(1/(1−v^2 )) .Hence, F=4∫u(√u).(√u).v.vu^2 dv=4∫v^2 u^4 dv =4∫(( v^2 )/((1−v^2 )^4 ))dv=4∫(( (v^2 −1)+1)/((1−v^2 )^4 ))dv =−4∫(dv/((1−v^2 )^3 ))+4∫(dv/((1−v^2 )^4 ))=4∫(I−J)dv I=[(1/2)((1/(1−v))+(1/(1+v)))]^4 dv.Set (1/(1+v))=a,(1/(1−v))=b we have ab=(1/2)(a+b).Hence 16I=(a+b)^4 =a^4 +b^4 +4ab[(a+b)^2 −2ab]+6a^2 b^2 =a^4 +b^4 +4ab(a+b)^2 −2(ab)^2 =a^4 +b^4 +2(a+b)(a+b)^2 −(1/2)(2ab)^2 =a^4 +b^4 +2(a+b)^3 −(1/2)(a+b)^2 =a^4 +b^4 +2a^3 +2b^3 +6ab(a+b)−(1/2)a^2 −(1/2)b^2 −ab =a^4 +b^4 +2a^3 +2b^3 +3(a+b)^2 −(a^2 /2)−(b^2 /2)−ab =a^4 +b^4 +2a^3 +2b^3 +(5/2)a^2 +(5/2)b^2 +(5/2)(a+b) 8J=(a+b)^3 =a^3 +3ab(a+b)+b^3 =a^3 +b^3 +(3/2)(a+b)^2 =a^3 +b^3 +(3/2)a^2 +(3/2)b^2 +(3/2)(a+b).Hence, 16(I−J)=(a^4 +b^4 +2a^3 +2b^3 +(5/2)a^2 +(5/2)b^2 +(5/2)(a+b)) −2(a^3 +b^3 +(3/2)a^2 +(3/2)b^2 +(3/2)(a+b)) =a^4 +b^4 −(1/2)a^2 −(1/2)b^2 −(1/2)(a+b) F=∫4(I−J)dv=∫(1/(4(1+v)^4 ))+(1/(4(1−v)^4 ))−(1/(8(1+v)^2 ))−(1/(8(1−v)^2 ))−(1/(8(1+v)))−(1/(8(1−v))))dv =((−1)/(12(1+v)^3 ))+(1/(12(1−v)^3 ))+(1/(8(1+v)))−(1/(8(1−v)))+(1/8)ln∣((v−1)/(v+1))∣ =((v(v^2 +3))/(6(1−v^2 )^3 ))−(v/(4(1−v^2 )))+(1/8)ln∣((1−v)/(1+v))∣ Replace v=(√(1−(1/( (√x))) )) ,1−v^2 =(1/( (√x))) into above expression and simplify we get: F=(1/6)(4x−(√x))((√(x−(√x))) )−(1/4)(√(x−(√x))) +(1/8)ln(2(√x)−1−2(√(x−(√x))) )+C Test to check: ∫_1 ^( 4) (√(x−(√x))) dx=2.7259= F(4)−F(1)
$$\mathrm{Set}\:\sqrt{\mathrm{x}}=\mathrm{u}\Rightarrow\mathrm{du}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{2u}}\Rightarrow\mathrm{dx}=\mathrm{2udu} \\ $$$$\mathrm{F}=\int\mathrm{2u}\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}}\:\mathrm{du}=\mathrm{2}\int\mathrm{u}\sqrt{\mathrm{u}}\:\sqrt{\mathrm{u}−\mathrm{1}}\:\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{Set}\:\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}=\mathrm{v}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{2vdv}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\mathrm{du}\Rightarrow\mathrm{du}=\mathrm{2vu}^{\mathrm{2}} \mathrm{dv} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{u}−\mathrm{1}}\:=\mathrm{v}\sqrt{\mathrm{u}−}\:,\mathrm{u}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{v}^{\mathrm{2}} }\:.\mathrm{Hence}, \\ $$$$\mathrm{F}=\mathrm{4}\int\mathrm{u}\sqrt{\mathrm{u}}.\sqrt{\mathrm{u}}.\mathrm{v}.\mathrm{vu}^{\mathrm{2}} \mathrm{dv}=\mathrm{4}\int\mathrm{v}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}^{\mathrm{4}} \mathrm{dv} \\ $$$$=\mathrm{4}\int\frac{\:\mathrm{v}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{v}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{4}} }\mathrm{dv}=\mathrm{4}\int\frac{\:\left(\mathrm{v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{v}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{4}} }\mathrm{dv} \\ $$$$=−\mathrm{4}\int\frac{\mathrm{dv}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{v}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}} }+\mathrm{4}\int\frac{\mathrm{dv}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{v}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{4}} }=\mathrm{4}\int\left(\mathrm{I}−\mathrm{J}\right)\mathrm{dv} \\ $$$$\mathrm{I}=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{v}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{v}}\right)\right]^{\mathrm{4}} \mathrm{dv}.\mathrm{Set}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{v}}=\mathrm{a},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{v}}=\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ab}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right).\mathrm{Hence} \\ $$$$\mathrm{16I}=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{4}} =\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4ab}\left[\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ab}\right]+\mathrm{6a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4ab}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{ab}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2ab}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6ab}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab} \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\mathrm{ab} \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2b}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{8J}=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3ab}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)+\mathrm{b}^{\mathrm{3}} =\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right).\mathrm{Hence}, \\ $$$$\mathrm{16}\left(\mathrm{I}−\mathrm{J}\right)=\left(\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2b}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\right) \\ $$$$−\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{F}=\int\mathrm{4}\left(\mathrm{I}−\mathrm{J}\right)\mathrm{dv}=\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{1}+\mathrm{v}\right)^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\mathrm{v}\right)^{\mathrm{4}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{1}+\mathrm{v}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{1}−\mathrm{v}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{1}+\mathrm{v}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{1}−\mathrm{v}\right)}\right)\mathrm{dv} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{12}\left(\mathrm{1}+\mathrm{v}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}\left(\mathrm{1}−\mathrm{v}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{1}+\mathrm{v}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{1}−\mathrm{v}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{v}−\mathrm{1}}{\mathrm{v}+\mathrm{1}}\mid \\ $$$$=\frac{\mathrm{v}\left(\mathrm{v}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}{\mathrm{6}\left(\mathrm{1}−\mathrm{v}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\mathrm{v}^{\mathrm{2}} \right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{1}−\mathrm{v}}{\mathrm{1}+\mathrm{v}}\mid \\ $$$$\mathrm{Replace}\:\mathrm{v}=\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}}}\:}\:,\mathrm{1}−\mathrm{v}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}}}\:\mathrm{into}\:\mathrm{above} \\ $$$$\mathrm{expression}\:\mathrm{and}\:\mathrm{simplify}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}: \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{F}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left(\mathrm{4}\boldsymbol{\mathrm{x}}−\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{x}}}\right)\left(\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{x}}−\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{x}}}}\:\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{x}}−\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{x}}}}\: \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\mathrm{2}\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{x}}}−\mathrm{1}−\mathrm{2}\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{x}}−\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{x}}}}\:\right)+\boldsymbol{\mathrm{C}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Test}}\:\boldsymbol{\mathrm{to}}\:\boldsymbol{\mathrm{check}}: \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{4}} \sqrt{\boldsymbol{\mathrm{x}}−\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{x}}}}\:\boldsymbol{\mathrm{dx}}=\mathrm{2}.\mathrm{7259}=\:\boldsymbol{\mathrm{F}}\left(\mathrm{4}\right)−\boldsymbol{\mathrm{F}}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$

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