Question Number 184839 by alcohol last updated on 12/Jan/23
$${xy}\:−\:\mathrm{3}{x}\:=\:\mathrm{27}\:−\mathrm{5}{y} \\ $$$${find}\:{all}\:\left({x}\:,\:{y}\right)\:{in}\:\mathbb{Z}^{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 12/Jan/23
$${xy}−\mathrm{3}{x}=\mathrm{27}−\mathrm{5}{y};\:\:{x},{y}\in\mathbb{Z} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{27}−\mathrm{5}{y}}{{y}−\mathrm{3}}=\frac{−\mathrm{5}{y}+\mathrm{15}+\mathrm{12}}{{y}−\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\frac{−\mathrm{5}\left({y}−\mathrm{3}\right)+\mathrm{12}}{{y}−\mathrm{3}}=−\mathrm{5}+\frac{\mathrm{12}}{{y}−\mathrm{3}} \\ $$$${y}−\mathrm{3}=\pm\mathrm{1},\pm\mathrm{2},\pm\mathrm{3},\pm\mathrm{4},\pm\mathrm{6},\pm\mathrm{12} \\ $$$${y}=−\mathrm{9},−\mathrm{3},−\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{4},\mathrm{5},\mathrm{6},\mathrm{7},\mathrm{9},\mathrm{15} \\ $$$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}{{y}}&\hline{{x}=−\mathrm{5}+\frac{\mathrm{12}}{{y}−\mathrm{3}}}\\{−\mathrm{9}}&\hline{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{6}}\\{−\mathrm{3}}&\hline{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{7}}\\{−\mathrm{1}}&\hline{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{8}}\\{\:\:\mathrm{0}}&\hline{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{9}}\\{\:\:\mathrm{1}}&\hline{\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{11}}\\{\:\:\mathrm{2}}&\hline{\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{17}}\\{\:\:\mathrm{4}}&\hline{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{7}}\\{\:\:\mathrm{5}}&\hline{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{\:\:\mathrm{6}}&\hline{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{1}}\\{\:\:\mathrm{7}}&\hline{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2}}\\{\:\:\mathrm{9}}&\hline{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{3}}\\{\mathrm{15}}&\hline{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{4}}\\\hline\end{array} \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 12/Jan/23
$$\mathrm{xy}−\mathrm{3x}+\mathrm{5y}=\mathrm{27} \\ $$$$\mathrm{x}\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)+\mathrm{5}\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)+\mathrm{15}=\mathrm{27} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)=\mathrm{12} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{5}=\pm\mathrm{12}\wedge\mathrm{y}−\mathrm{3}=\pm\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{5}=\pm\mathrm{6}\wedge\mathrm{y}−\mathrm{3}=\pm\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{5}=\pm\mathrm{4}\wedge\mathrm{y}−\mathrm{3}=\pm\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{5}=\pm\mathrm{3}\wedge\mathrm{y}−\mathrm{3}=\pm\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{5}=\pm\mathrm{2}\wedge\mathrm{y}−\mathrm{3}=\pm\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{5}=\pm\mathrm{1}\wedge\mathrm{y}−\mathrm{3}=\pm\mathrm{12} \\ $$$$\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\left\{\left(\mathrm{7},\mathrm{4}\right),\left(\mathrm{1},\mathrm{5}\right),\left(−\mathrm{1},\mathrm{6}\right),\left(−\mathrm{2},\mathrm{7}\right),\left(−\mathrm{3},\mathrm{9}\right),\left(−\mathrm{4},\mathrm{15}\right),\right. \\ $$$$\left.\left(−\mathrm{17},\mathrm{2}\right),\left(−\mathrm{11},\mathrm{1}\right),\left(−\mathrm{9},\mathrm{0}\right),\left(−\mathrm{8},−\mathrm{1}\right),\left(−\mathrm{7},−\mathrm{3}\right),\left(−\mathrm{6},−\mathrm{9}\right)\right\} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 12/Jan/23
$${xy}+\mathrm{5}{y}=\mathrm{27}+\mathrm{3}{x} \\ $$$${y}\left({x}+\mathrm{5}\right)=\mathrm{3}\left(\mathrm{9}+{x}\right) \\ $$$$\frac{{y}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{9}+{x}}{{x}+\mathrm{5}} \\ $$$$\frac{{y}}{\mathrm{3}}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{9}+{x}}{{x}+\mathrm{5}}−\mathrm{1} \\ $$$$\frac{{y}−\mathrm{3}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{4}}{{x}+\mathrm{5}} \\ $$$$\left({x}+\mathrm{5}\right)\left({y}−\mathrm{3}\right)=\mathrm{12} \\ $$$$…. \\ $$