Question Number 113444 by Ar Brandon last updated on 13/Sep/20
$$\mathrm{y}''−\mathrm{2ay}'+\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{y}=\mathrm{te}^{\mathrm{at}} +\mathrm{sint} \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 13/Sep/20
$$\mathrm{y}''−\mathrm{2ay}'+\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{y}=\mathrm{te}^{\mathrm{at}} +\mathrm{sint} \\ $$$$\left(\mathrm{h}\right)\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ar}+\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{r}=\frac{\mathrm{2a}\pm\sqrt{\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)}}{\mathrm{2}}=\mathrm{a}\pm\mathrm{i} \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \left(\mathrm{Acost}+\mathrm{Bsint}\right) \\ $$$$\mathrm{By}\:\mathrm{varying}\:\mathrm{parameters}\:\mathrm{let};\:\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{A}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{cost}+\mathrm{B}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{sint} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{au}_{\mathrm{1}} +\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{a}'\mathrm{u}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\mathrm{u}_{\mathrm{2}} =\mathrm{0}}&{…\left(\mathrm{1}\right)}\\{\mathrm{a}'\mathrm{u}_{\mathrm{1}} '+\mathrm{b}'\mathrm{u}_{\mathrm{2}} '=\mathrm{te}^{\mathrm{at}} +\mathrm{sint}}&{…\left(\mathrm{2}\right)}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Finding}\:\mathrm{a}'\:\mathrm{and}\:\mathrm{b}'\:\:\mathrm{using}\:\mathrm{Crammer}'\mathrm{s}\:\mathrm{method}; \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }&{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} '}&{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} '}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{cost}}&{\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{sint}}\\{\mathrm{ae}^{\mathrm{at}} \mathrm{cost}−\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{sint}}&{\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{cost}+\mathrm{ae}^{\mathrm{at}} \mathrm{sint}}\end{vmatrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{e}^{\mathrm{2at}} \left[\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}+\mathrm{asintcost}\right)−\left(\mathrm{asintcost}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}\right)\right]=\mathrm{e}^{\mathrm{2at}} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{0}}&{\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{sint}}\\{\mathrm{te}^{\mathrm{at}} +\mathrm{sint}}&{\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{cost}+\mathrm{ae}^{\mathrm{at}} \mathrm{sint}}\end{vmatrix}=−\left(\mathrm{te}^{\mathrm{2at}} \mathrm{sint}+\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}\right) \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{cost}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{ae}^{\mathrm{at}} \mathrm{cost}−\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{sint}}&{\mathrm{te}^{\mathrm{at}} +\mathrm{sint}}\end{vmatrix}=\mathrm{te}^{\mathrm{2at}} \mathrm{cost}+\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{sintcost} \\ $$$$\mathrm{a}'=\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\Rightarrow\mathrm{a}=\int\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dt}\:,\:\mathrm{b}'=\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{W}}\Rightarrow\mathrm{b}=\int\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dt} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}\left(\mathrm{t}\right)=−\int\frac{\mathrm{te}^{\mathrm{2at}} \mathrm{sint}+\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{e}^{\mathrm{2at}} }\mathrm{dt},\:\mathrm{B}\left(\mathrm{t}\right)=\int\frac{\mathrm{te}^{\mathrm{2at}} \mathrm{cost}+\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{sintcost}}{\mathrm{e}^{\mathrm{2at}} }\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{A}\left(\mathrm{t}\right)=−\int\left(\mathrm{tsint}+\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\int\mathrm{tsintdt}=−\mathrm{tcost}+\int\mathrm{costdt}=\mathrm{sint}−\mathrm{tcost} \\ $$$$\int\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{tdt}=−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{a}}\centerdot\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} +\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}}\int\mathrm{sintcost}\centerdot\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{a}}\centerdot\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\int\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{a}}\centerdot\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\left\{−\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}}\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} +\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}}\int\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \mathrm{dt}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{a}}\centerdot\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} −\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} +\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\left[−\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}}\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}}\int\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \mathrm{dt}\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{a}}\centerdot\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} −\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} −\frac{\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} −\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }\int\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{a}}\centerdot\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} +\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}\left[−\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} −\frac{\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \right]+\mathrm{C} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{tcost}−\mathrm{sint}+\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{a}}\centerdot\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} +\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}\left[\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} +\frac{\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \right]+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{B}\left(\mathrm{t}\right)=\int\frac{\mathrm{te}^{\mathrm{2at}} \mathrm{cost}+\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{sintcost}}{\mathrm{e}^{\mathrm{2at}} }\mathrm{dt}=\int\left(\mathrm{tcost}+\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \mathrm{sintcost}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$ \\ $$$$\int\mathrm{tcostdt}=\mathrm{tsint}−\int\mathrm{sintdt}=\mathrm{tsint}+\mathrm{cost} \\ $$$$\int\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \mathrm{sintcostdt}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}\left[−\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} −\frac{\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \right]+\mathrm{K} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{B}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{tsint}+\mathrm{cost}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}\left[−\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} −\frac{\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \right]+\mathrm{K} \\ $$$$\mathrm{Or}\:\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{A}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{cost}+\mathrm{B}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{sint}\:\mathrm{et}\:\mathrm{y}_{\mathrm{G}} =\mathrm{y}_{\mathrm{h}} +\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{G}} =\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \left(\mathrm{Acost}+\mathrm{Bsint}\right)+\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{tcos}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}−\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{sintcost}+\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{tcost}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \mathrm{cost}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}\left[\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }\right]+\mathrm{Ce}^{\mathrm{at}} \mathrm{cost} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{tsintcost}+\mathrm{e}^{\mathrm{at}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{4}} \mathrm{cost}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}\left[−\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }\right]+\mathrm{Ke}^{\mathrm{at}} \mathrm{cost} \\ $$
Commented by bemath last updated on 13/Sep/20
$${amazing}\: \\ $$
Commented by bobhans last updated on 13/Sep/20
$$\mathrm{super}\:\mathrm{great}…. \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 13/Sep/20