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y-4y-4y-x-3-e-2x-y-0-2-y-0-5-

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Question Number 121517 by liberty last updated on 09/Nov/20
y′′+4y′+4y = (x+3)e^(−2x) y(0)=2 ∧y′(0)=5
$$\:\mathrm{y}''+\mathrm{4y}'+\mathrm{4y}\:=\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{2}\:\wedge\mathrm{y}'\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{5} \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 09/Nov/20
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 09/Nov/20
C.F y=e^(mx) (m^2 +4m+4)e^(mx) =0→m=−2,−2 C.F=C_1 e^(−2x) +C_2 xe^(−2x) P.I =(((x+3)e^(−2x) )/((D^2 +4D+4)))=(1/((D+2)^2 ))e^(−2x) ×(x+3) =e^(−2x) ×(1/((D−2+2)^2 ))×(x+3) =e^(−2x) ×(1/D^2 )(x+3) e^(−2x) ((x^3 /6)+((3x^2 )/2)) y=C_1 e^(−2x) +C_2 xe^(−2x) +e^(−2x) ((x^3 /6)+((3x^2 )/2))
$${C}.{F} \\ $$$${y}={e}^{{mx}} \\ $$$$\left({m}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{m}+\mathrm{4}\right){e}^{{mx}} =\mathrm{0}\rightarrow{m}=−\mathrm{2},−\mathrm{2} \\ $$$${C}.{F}={C}_{\mathrm{1}} {e}^{−\mathrm{2}{x}} +{C}_{\mathrm{2}} {xe}^{−\mathrm{2}{x}} \\ $$$${P}.{I}\:\:=\frac{\left({x}+\mathrm{3}\right){e}^{−\mathrm{2}{x}} }{\left({D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{D}+\mathrm{4}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\left({D}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }{e}^{−\mathrm{2}{x}} ×\left({x}+\mathrm{3}\right) \\ $$$$={e}^{−\mathrm{2}{x}} ×\frac{\mathrm{1}}{\left({D}−\mathrm{2}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }×\left({x}+\mathrm{3}\right) \\ $$$$={e}^{−\mathrm{2}{x}} ×\frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} }\left({x}+\mathrm{3}\right) \\ $$$${e}^{−\mathrm{2}{x}} \left(\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right) \\ $$$${y}={C}_{\mathrm{1}} {e}^{−\mathrm{2}{x}} +{C}_{\mathrm{2}} {xe}^{−\mathrm{2}{x}} +{e}^{−\mathrm{2}{x}} \left(\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Nov/20
y^(′′) +4y^′ +4y =(x+3)e^(−2x) h→r^2 +4r +4 =0 ⇒(r+2)^2 =0 ⇒r=−2 (double) ⇒ y_h =(ax+b)e^(−2x) =axe^(−2x) +be^(−2x) =au_1 +bu_2 W(u_1 ,u_2 ) = determinant (((xe^(−2x) e^(−2x) )),(((1−2x)e^(−2x) −2e^(−2x) )))=−2x e^(−4x) −(1−2x)e^(−4x) =−e^(−4x) ≠0 W_1 = determinant (((0 e^(−2x) )),(((x+3)e^(−2x) −2e^(−2x) )))=−(x+3)e^(−4x) W_2 = determinant (((xe^(−2x) 0)),(((1−2x)e^(−2x) (x+3)e^(−2x) )))=(x^2 +3x)e^(−4x) V_1 =∫ (W_1 /W)dx =−∫ (((x+3)e^(−4x) )/(−e^(−4x) )) =∫ (x+3)dx =(x^2 /2)+3x V_2 =∫ (W_2 /W)dx =∫ (((x^2 +3x)e^(−4x) )/(−e^(−4x) ))dx =−∫(x^2 +3x)dx =−(x^3 /3)−(3/2)x^2 ⇒y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 =xe^(−2x) ((x^2 /2) +3x)+e^(−2x) (−(x^3 /3)−(3/2)x^2 ) =((x^3 /2)+3x^2 −(x^3 /3)−(3/2)x^2 )e^(−2x) =((x^3 /6) +(3/2)x^2 )e^(−2x) the general solution is y =y_h +y_p =axe^(−2x) +be^(−2x) +((x^3 /6)+(3/2)x^2 )e^(−2x) =(ax+b +(x^3 /6)+(3/2)x^2 )e^(−2x) y(0) =2 ⇒b=2 y^′ =(a+(1/2)x^2 +3x)e^(−2x) −2e^(−2x) (ax+b+(x^3 /6)+(3/2)x^2 ) y^′ (0)=5 ⇒a−2(b)=5 ⇒a =5+2b =5+4 =9 ⇒ y(x) =(9x+2 +(x^3 /6)+(3/2)x^2 )e^(−2x)
$$\mathrm{y}^{''} \:+\mathrm{4y}^{'} \:+\mathrm{4y}\:=\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4r}\:+\mathrm{4}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{r}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}=−\mathrm{2}\:\:\left(\mathrm{double}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:=\mathrm{axe}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{2x}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{−\mathrm{2x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\:−\mathrm{2e}^{−\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{2x}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{4x}} −\left(\mathrm{1}−\mathrm{2x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{4x}} \\ $$$$=−\mathrm{e}^{−\mathrm{4x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\:−\mathrm{2e}^{−\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=−\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{4x}} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{−\mathrm{2x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{4x}} \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=−\int\:\:\:\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{4x}} }{−\mathrm{e}^{−\mathrm{4x}} }\:=\int\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{3x} \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{4x}} }{−\mathrm{e}^{−\mathrm{4x}} }\mathrm{dx}\:=−\int\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} +\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{xe}^{−\mathrm{2x}} \left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\mathrm{3x}\right)+\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \left(−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:=\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{axe}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{2x}} \:\:+\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$=\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{y}^{'} =\left(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} −\mathrm{2e}^{−\mathrm{2x}} \left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{5}\:\Rightarrow\mathrm{a}−\mathrm{2}\left(\mathrm{b}\right)=\mathrm{5}\:\Rightarrow\mathrm{a}\:=\mathrm{5}+\mathrm{2b}\:=\mathrm{5}+\mathrm{4}\:=\mathrm{9}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{9x}+\mathrm{2}\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$

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