Question Number 90983 by jagoll last updated on 27/Apr/20
$${y}''−\mathrm{5}{y}'+\mathrm{6}{y}={x}^{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by john santu last updated on 27/Apr/20
$$\mathrm{complementari}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\:\mathrm{Ae}^{\mathrm{q}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}} \:+\:\mathrm{Be}^{\mathrm{q}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{q}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5q}\:+\mathrm{6}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{q}\:=\:\begin{cases}{\mathrm{3}}\\{\mathrm{2}}\end{cases}\:\Rightarrow\mathrm{y}\:=\:\mathrm{Ae}^{\mathrm{3x}} \:+\:\mathrm{Be}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{particular}\:\mathrm{solution}\: \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\:\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}\:+\mathrm{c}\: \\ $$$$\mathrm{y}'=\:\mathrm{2ax}+\:\mathrm{b}\:,\:\mathrm{y}''=\:\mathrm{2a} \\ $$$$\mathrm{2a}−\mathrm{5}\left(\mathrm{2ax}+\mathrm{b}\right)+\mathrm{6ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6bx}+\mathrm{6c}\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}},\:\mathrm{b}\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{18}}\:,\:\mathrm{c}\:=\:\frac{\mathrm{19}}{\mathrm{108}} \\ $$$$\mathrm{general}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{Ae}^{\mathrm{3x}} \:+\:\mathrm{Be}^{\mathrm{2x}} +\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{18}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{19}}{\mathrm{108}} \\ $$