Question Number 84456 by M±th+et£s last updated on 13/Mar/20
$${y}={ln}\sqrt{\frac{{a}+{sin}\left({x}\right)}{{b}−{sin}\left({x}\right)}} \\ $$$${if}\:\left(\frac{{dy}}{{dx}}\right)^{\mathrm{2}} −{tan}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${show}\:{that}\:{a}={b} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 13/Mar/20
$$\mathrm{e}^{\mathrm{2y}} \:=\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{a}}{−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{b}} \\ $$$$\mathrm{2e}^{\mathrm{2y}} \mathrm{y}'\:=\:\frac{\left(\mathrm{b}+\mathrm{a}\right)\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\left(−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{4e}^{\mathrm{2y}} \mathrm{y}'\:+\:\mathrm{2e}^{\mathrm{2y}} \:\mathrm{y}''\:=\:\frac{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{b}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\left(\mathrm{b}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{b}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$