Question Number 123667 by sahnaz last updated on 27/Nov/20
$$\mathrm{y}=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}=? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Nov/20
$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\left(\mathrm{2x}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\:=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{2}\left(\mathrm{2x}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{4}\left\{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$=\mathrm{4x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{4}\left\{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \right\} \\ $$$$=\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4x}+\mathrm{4}\left\{\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right\} \\ $$$$=\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4x}+\mathrm{16x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{12x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8x}−\mathrm{4} \\ $$$$=\mathrm{20x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{12x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}−\mathrm{4} \\ $$