Question Number 168276 by Florian last updated on 07/Apr/22
$$\:\:\:\:{y}\:=\:\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}} \\ $$$$\:\:\:\:{y}'\:=\: \\ $$$$\:\:\:\:\: \\ $$
Commented by cortano1 last updated on 07/Apr/22
$$\:{y}'=\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}} \\ $$
Commented by Florian last updated on 08/Apr/22
$$??? \\ $$
Answered by greogoury55 last updated on 07/Apr/22
$$\:{y}=\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}} \\ $$$$\:{y}^{\mathrm{2}} −{x}\:=\:\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}\: \\ $$$$\:\left({y}^{\mathrm{2}} −{x}\right)^{\mathrm{2}} −{x}=\sqrt{{x}} \\ $$$$\:\frac{{d}}{{dx}}\:\left(\left({y}^{\mathrm{2}} −{x}\right)^{\mathrm{2}} −{x}\right)=\:\frac{{d}}{{dx}}\left(\sqrt{{x}}\:\right) \\ $$$$\:\mathrm{2}\left({y}^{\mathrm{2}} −{x}\right)\left(\mathrm{2}{yy}'−\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\left({y}^{\mathrm{2}} −{x}\right)\left(\mathrm{2}{yy}'−\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}{yy}'−\mathrm{1}=\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}}}{\mathrm{4}\sqrt{{x}}\:\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}\:=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}}}{\mathrm{4}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}\sqrt{{x}}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}{yy}'=\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}}+\mathrm{4}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}\sqrt{{x}}}}{\mathrm{4}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}\sqrt{{x}}}} \\ $$$$\Rightarrow{y}'\:=\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}}+\mathrm{4}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}\sqrt{{x}}}}{\mathrm{8}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}\sqrt{{x}}}\:\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}} \\ $$$$\Rightarrow{y}'=\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}}+\mathrm{4}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}\sqrt{{x}}}}{\mathrm{8}\sqrt{\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}\sqrt{{x}}\right)\left({x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}\right)}}\: \\ $$$$ \\ $$
Commented by Florian last updated on 07/Apr/22
$${Very}\:{Good}! \\ $$
Answered by Mathspace last updated on 07/Apr/22
$${y}^{\mathrm{2}} ={x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}} \\ $$$$\Rightarrow\left({y}^{\mathrm{2}} −{x}\right)^{\mathrm{2}} ={x}+\sqrt{{x}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{yy}^{'} −\mathrm{1}\right)\left({y}^{\mathrm{2}} −{x}\right)=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{4}{yy}^{'} =\frac{\mathrm{2}\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}\left({y}^{\mathrm{2}} −{x}\right)}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}+\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{y}^{'} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{y}}\left\{\frac{\mathrm{3}\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}\sqrt{{x}}}}\:+\mathrm{2}\right\} \\ $$
Answered by Florian last updated on 07/Apr/22
$$\:\:\:\:\:{y}\:=\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{y}'=\left(\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}\right)'\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\rightarrow{g}_{\mathrm{1}} ={x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{y}'=\left(\sqrt{{g}_{\mathrm{1}} }\right)'\left({x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}\right)' \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{y}'=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{g}_{\mathrm{1}} }}\left(\left({x}\right)'+\left(\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}\right)'\right)\:\:\:\:\:\rightarrow{g}_{\mathrm{2}} ={x}+\sqrt{{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{y}'=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{g}_{\mathrm{1}} }}\left(\mathrm{1}+\left(\sqrt{{g}_{\mathrm{2}} }\right)'\left({x}+\sqrt{{x}}\right)'\right. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{y}'=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{g}_{\mathrm{1}} }}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{g}_{\mathrm{2}} }}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\right)\right. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{y}'=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{g}_{\mathrm{1}} }}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{y}'=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{g}_{\mathrm{1}} }}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{4}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{{x}}{x}}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{y}'=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{4}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{{x}}{x}}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{y}'=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}+\sqrt{{x}\sqrt{{x}}}}}×\frac{\mathrm{4}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{{x}}{x}}+\mathrm{2}\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{{x}}{x}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{y}'=\frac{\mathrm{4}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{{x}}{x}}+\mathrm{2}\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\mathrm{8}\sqrt{\left({x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{{x}}{x}\right)}} \\ $$