Question Number 115771 by bemath last updated on 28/Sep/20
$${y}''−{y}'−\mathrm{2}{y}={e}^{\mathrm{2}{x}} .\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x} \\ $$
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 28/Sep/20
Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Sep/20
$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{r}−\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta\:=\mathrm{1}−\mathrm{4}\left(−\mathrm{2}\right)\:=\mathrm{9}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{ae}^{\mathrm{2x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{x}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{2e}^{\mathrm{2x}} \:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{2e}^{\mathrm{x}} \:=−\mathrm{3e}^{\mathrm{x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{2e}^{\mathrm{2x}} \:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\end{vmatrix}=\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=−\int\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{−\mathrm{3e}^{\mathrm{x}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{−\mathrm{3e}^{\mathrm{x}} }\:\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\:\int\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:\mathrm{dx}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}\:} \mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{but}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{18}}\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{Re}\left(\int\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{3}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right) \\ $$$$\int\:\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{3}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\mathrm{2i}}\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{3}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \:=\frac{\mathrm{3}−\mathrm{2i}}{\mathrm{13}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{2x}\right)\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }{\mathrm{13}}\left\{\:\mathrm{3cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{3isin}\left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{2i}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\:+\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{Re}\left(….\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }{\mathrm{13}}\left(\:\mathrm{3cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right)+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }{\mathrm{13}}\left(\mathrm{3cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$