Question Number 193204 by Mingma last updated on 07/Jun/23
Answered by witcher3 last updated on 08/Jun/23
![H_n =Σ_(k=1) ^n (1/k)=∫_0 ^1 Σ_(k=1) ^n x^(k−1) dx =∫_0 ^1 ((1−x^n )/(1−x))dx =lim_(a→1) ∫_0 ^a ((1−x^n )/(1−x))dx=lim_(a→1) [_0 ^a −ln(1−x)(1−x^n )] −∫nx^(n−1) ln(1−x)dx ⇔H_n =−n∫_0 ^1 x^(n−1) ln(1−x) ⇔(H_n /n^3 )=−∫_0 ^1 (x^(n−1) /n^3 )ln(1−x)dx ⇒Σ_(n≥1) (H_n /n^3 )=−∫_0 ^1 (1/x)(Σ_(n≥1) (x^n /n^2 ))ln(1−x)dx =−∫_0 ^1 ((ln(1−x))/x)Li_2 (x)dx Li_2 (z)=−∫_0 ^z ((ln(1−x))/x)dx ⇔Σ_(n≥1) (H_n /n^3 )=(1/2)Li_2 ^2 (1)=(1/2)((π^2 /6))^2 =(π^4 /(72))](https://www.tinkutara.com/question/Q193258.png)
$$\mathrm{H}_{\mathrm{n}} =\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}=\overset{\mathrm{1}} {\int}_{\mathrm{0}} \underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{x}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\underset{\mathrm{a}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\underset{\mathrm{a}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\left[_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} −\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \right)\right] \\ $$$$−\int\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{H}_{\mathrm{n}} =−\mathrm{n}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{H}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{H}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\left(\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}\right)=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{z}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$\Leftrightarrow\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{H}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\pi^{\mathrm{4}} }{\mathrm{72}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by Mingma last updated on 09/Jun/23
Perfect ��