Question Number 193272 by 073 last updated on 09/Jun/23
Answered by aba last updated on 09/Jun/23
$$\mathrm{ln}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}\pi}}{\mathrm{e}}\right) \\ $$
Answered by aba last updated on 09/Jun/23
![∫_0 ^1 lnΓ(x+1)dx=∫_0 ^1 lnxΓ(x)dx=∫_0 ^1 ln(x)+∫_0 ^1 lnΓ(x)dx =lim_(a→0) ([xln(x)]_a ^1 −∫_a ^1 dx)+(1/2)∫_0 ^1 2lnΓ(x)dx =−1+(1/2)∫_0 ^1 2lnΓ(1−x)dx =−1+(1/2)∫_0 ^1 lnΓ(1−x)+lnΓ(1−x)dx =−1+(1/2)∫_0 ^1 lnΓ(1−x)+lnΓ(x)dx =−1+(1/2)∫_0 ^1 lnΓ(1−x)Γ(x)dx =−1+(1/2)∫_0 ^1 ln((π/(sin(πx)))dx =−1+(1/2)∫_0 ^1 (ln(π)−ln(sin(πx))dx =−1+(1/2)(ln(π)−(2/π)∫_0 ^(π/2) ln(sin(x))dx) =−1+(1/2)(ln(π)−(2/π)∫_0 ^(π/2) ln(2)dx) =−1+(1/2)(ln(π)+(2/π)×(π/2)ln(2)) =−1+(1/2)(ln(π)+ln(2)) =ln(((√(2π))/e) )](https://www.tinkutara.com/question/Q193289.png)
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\Gamma\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{lnx}\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{\mathrm{a}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\left[\mathrm{xln}\left(\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{a}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{a}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{dx}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{2ln}\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{2ln}\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{ln}\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{ln}\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\frac{\pi}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right.}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{ln}\left(\pi\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}\right. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{ln}\left(\pi\right)−\frac{\mathrm{2}}{\pi}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}\right)\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{ln}\left(\pi\right)−\frac{\mathrm{2}}{\pi}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{dx}\right)\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{ln}\left(\pi\right)+\frac{\mathrm{2}}{\pi}×\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\right)\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{ln}\left(\pi\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{ln}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}\pi}}{\mathrm{e}}\:\right) \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$