Question Number 193346 by pascal889 last updated on 11/Jun/23
$$\sqrt{\mathrm{4x}−\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{5}}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x} \\ $$
Answered by AST last updated on 11/Jun/23
$${u}−{v}=\mathrm{2};\:{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{v}^{\mathrm{2}} =\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2}+{v}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{v}^{\mathrm{2}} =\mathrm{7}\Rightarrow{v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{v}+\mathrm{3}=\mathrm{0}\Rightarrow{v}=\mathrm{3}\:{or}\:\mathrm{1} \\ $$$${v}=\mathrm{3}\Rightarrow\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{5}}=\mathrm{3}\Rightarrow{x}=\mathrm{7};{v}=\mathrm{1}\Rightarrow\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{5}}=\mathrm{1}\Rightarrow{x}=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{3}\:{or}\:\mathrm{7} \\ $$
Answered by cortano12 last updated on 11/Jun/23
$$\:\mathrm{let}\:\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{5}}\:=\:\mathrm{u}\Rightarrow\mathrm{2x}=\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\mathrm{4x}−\mathrm{3}=\mathrm{2u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7} \\ $$$$\:\Leftrightarrow\:\sqrt{\mathrm{2u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}}\:=\:\mathrm{2}+\mathrm{u} \\ $$$$\:\Leftrightarrow\:\mathrm{2u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}\:=\:\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4u}+\mathrm{4} \\ $$$$\:\Leftrightarrow\:\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4u}+\mathrm{3}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\Leftrightarrow\:\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{u}−\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\Leftrightarrow\:\begin{cases}{\mathrm{x}=\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{2}}=\mathrm{3}}\\{\mathrm{x}=\frac{\mathrm{14}}{\mathrm{2}}=\mathrm{7}}\end{cases} \\ $$$$\: \\ $$