Question Number 56411 by gunawan last updated on 16/Mar/19
$$\mathrm{For}\:\mathrm{a}\:\mathrm{sequence}\:<{a}_{{n}} >\:;\:{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2},\:\frac{{a}_{{n}+\mathrm{1}} }{{a}_{{n}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}, \\ $$$$\mathrm{then}\:\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{20}} {\sum}}\:{a}_{{r}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to} \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 16/Mar/19
$$\frac{{a}_{\mathrm{2}} }{{a}_{\mathrm{1}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\frac{{a}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\rightarrow{a}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\frac{{a}_{\mathrm{3}} }{{a}_{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\frac{{a}_{\mathrm{3}} }{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}\rightarrow{a}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{{a}_{\mathrm{4}} }{{a}_{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\frac{{a}_{\mathrm{4}} }{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }}\rightarrow{a}_{\mathrm{4}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} } \\ $$$${S}_{{n}} ={a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} +…+{a}_{{n}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+…+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$${A}=\mathrm{2}\:\:\:{r}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\: \\ $$$${S}_{{n}} =\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} }\right)}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\rightarrow\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} }\right)}{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}\rightarrow\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} }\right) \\ $$$${so}\:{s}_{\mathrm{20}} =\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{20}} }\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$