Question Number 26521 by Samar khan last updated on 26/Dec/17
$$\mathrm{If}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }\:+\:…\mathrm{to}\:\infty\:=\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}},\:\mathrm{then} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }\:+\:…\:\mathrm{equals} \\ $$
Commented by abdo imad last updated on 26/Dec/17
$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\propto} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:\:=\:\:\:\:\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\propto} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:+\:\:\sum_{{p}=\mathrm{0}} ^{\propto} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\propto} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\propto} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:\:=\:\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 26/Dec/17
$$\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }+..\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+..\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$${so}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }+..=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:. \\ $$