Question Number 95515 by bagjamath last updated on 25/May/20
$$\mathrm{If}\:{A}+{B}+{C}\:=\:\pi,\:\mathrm{then} \\ $$$$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {A}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {B}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {C}−\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}= \\ $$
Answered by som(math1967) last updated on 25/May/20
$$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{A}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{B}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{C}−\mathrm{2cosAcos}\:\mathrm{Bcos}\:\mathrm{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{A}+\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{B}+\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{C}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2cosAcos}\:\mathrm{Bcos}\:\mathrm{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos2A}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos2B}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{C}\:−\mathrm{2cosAcosBcos}\:\mathrm{C} \\ $$$$=\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{2cos}\:\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{A}−\mathrm{B}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{C}−\mathrm{2cosAcosBcosC} \\ $$$$=\mathrm{2}\:+\mathrm{cosCcos}\left(\mathrm{A}−\mathrm{B}\right)−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{C} \\ $$$$\:\:−\mathrm{2cosAcosBcosC}\:\bigstar \\ $$$$=\mathrm{2}+\mathrm{cosC}\left\{\mathrm{cos}\left(\mathrm{A}−\mathrm{B}\right)−\mathrm{cosC}\right\} \\ $$$$\:\:−\mathrm{2cosAcosBcosC} \\ $$$$=\mathrm{2}+\mathrm{cosC}\left\{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{A}−\mathrm{B}\right)+\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)\right\} \\ $$$$−\mathrm{2cosAcosBcosC} \\ $$$$=\mathrm{2}+\mathrm{2cosAcosBcosC}−\mathrm{2cosAcosBcosC} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\mathrm{ans} \\ $$$$\bigstar\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi \\ $$$$\therefore\mathrm{cos}\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)=−\mathrm{cosC} \\ $$
Commented by peter frank last updated on 25/May/20
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$