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If-f-x-determinant-sin-x-sin2x-sin-3x-sin-2x-sin-3x-3-4-sin-x-3-4-sin-x-1-sin-x-sin-x-1-then-the-value-of-0-pi-2-f-x-dx-is-

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Question Number 19148 by khamizan833@yahoo.com last updated on 06/Aug/17
If f(x)= determinant (((sin x+sin2x+sin 3x),(sin 2x),(sin 3x)),(( 3+4 sin x),( 3),(4 sin x)),(( 1+sin x),( sin x),( 1))) then the value of ∫_( 0) ^(π/2) f(x) dx is
$$\mathrm{If} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{sin2}{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}}&{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}&{\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}}\\{\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}+\mathrm{4}\:\mathrm{sin}\:{x}}&{\:\:\:\:\mathrm{3}}&{\mathrm{4}\:\mathrm{sin}\:{x}}\\{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}}&{\:\mathrm{sin}\:{x}}&{\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\underset{\:\mathrm{0}} {\overset{\pi/\mathrm{2}} {\int}}\:{f}\left({x}\right)\:{dx}\:\:\:\mathrm{is} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 06/Aug/17
f(x)= determinant (((sin x+sin 2x+sin 3x),(sin 2x),(sin 3x)),((3+4sin x),3,(4sin x)),((1+sin x),(sin x),1)) C_1 →C_1 −C_2 −C_3 f(x)= determinant (((sin x),(sin 2x),(sin 3x)),(0,3,(4sin x)),(0,(sin x),1)) ⇒ f(x)=sin x(3−4sin^2 x) =sin 3x ∫_0 ^( π/2) f(x)dx=∫_0 ^( π/2) sin 3xdx =−(((cos 3x)/3))∣_0 ^(π/2) ∫_0 ^( π/2) f(x)dx = (1/3) .
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}}&{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}&{\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}}\\{\mathrm{3}+\mathrm{4sin}\:\mathrm{x}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{4sin}\:\mathrm{x}}\\{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}&{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}&{\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \rightarrow\mathrm{C}_{\mathrm{1}} −\mathrm{C}_{\mathrm{2}} −\mathrm{C}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}&{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}&{\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{4sin}\:\mathrm{x}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}&{\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{3}−\mathrm{4sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{sin}\:\mathrm{3x} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\pi/\mathrm{2}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\pi/\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3xdx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\left(\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}}{\mathrm{3}}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\pi/\mathrm{2}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:. \\ $$

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