Question Number 73706 by Faradtimmy last updated on 15/Nov/19
$$\mathrm{If}\:\:\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{3}{A}}{\mathrm{tan}\:{A}}\:=\:{k},\:\mathrm{then}\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{A}}{\mathrm{sin}\:{A}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to} \\ $$
Answered by Tanmay chaudhury last updated on 15/Nov/19
$${tanA}={t} \\ $$$$\frac{\mathrm{3}{t}−{t}^{\mathrm{3}} }{{t}\left(\mathrm{1}−\mathrm{3}{t}^{\mathrm{2}} \right)}={k}\rightarrow{k}−\mathrm{3}{kt}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}−{t}^{\mathrm{2}} \\ $$$${t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{3}{k}\right)=\mathrm{3}−{k}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{tan}^{\mathrm{2}} {A}=\frac{\mathrm{3}−{k}}{\mathrm{1}−\mathrm{3}{k}} \\ $$$${cot}^{\mathrm{2}} {A}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{3}{k}}{\mathrm{3}−{k}}\rightarrow{cosec}^{\mathrm{2}} {A}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{3}{k}+\mathrm{3}−{k}}{\mathrm{3}−{k}}=\frac{\mathrm{4}−\mathrm{4}{k}}{\mathrm{3}−{k}} \\ $$$${sin}^{\mathrm{2}} {A}=\frac{\mathrm{3}−{k}}{\mathrm{4}−\mathrm{4}{k}} \\ $$$$\frac{{sin}\mathrm{3}{A}}{{sinA}} \\ $$$$=\mathrm{3}−\mathrm{4}{sin}^{\mathrm{2}} {A} \\ $$$$=\mathrm{3}−\mathrm{4}\left(\frac{\mathrm{3}−{k}}{\mathrm{4}−\mathrm{4}{k}}\right)=\frac{\mathrm{12}−\mathrm{12}{k}−\mathrm{12}+\mathrm{4}{k}}{\mathrm{4}−\mathrm{4}{k}}=\frac{−\mathrm{8}{k}}{\mathrm{4}−\mathrm{4}{k}}=\frac{\mathrm{2}{k}}{{k}−\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$