Question Number 76401 by saupriyadip571@gmail.com last updated on 27/Dec/19
$$\mathrm{In}\:\mathrm{a}\:\mathrm{quadratic}\:\mathrm{equation}\:{ax}^{\mathrm{2}} −{bx}+{c}=\mathrm{0}, \\ $$$${a},{b},\:{c}\:\:\mathrm{are}\:\mathrm{distinct}\:\mathrm{primes}\:\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{product} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{and}\:\mathrm{product}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{is}\:\frac{\mathrm{91}}{\mathrm{9}}\:.\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{absolute}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{difference}\:\mathrm{between}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{product}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}. \\ $$
Answered by mr W last updated on 27/Dec/19
$${say}\:{roots}\:{are}\:\alpha,\:\beta. \\ $$$$\alpha+\beta=\frac{{b}}{{a}} \\ $$$$\alpha\beta=\frac{{c}}{{a}} \\ $$$${given}:\:\left(\alpha+\beta\right)\alpha\beta=\frac{\mathrm{91}}{\mathrm{9}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{bc}}{{a}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{91}}{\mathrm{9}}=\frac{\mathrm{13}×\mathrm{7}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${since}\:{a},{b},{c}\:{are}\:{prime}, \\ $$$$\Rightarrow{a}=\mathrm{3},\:{b}=\mathrm{13}\:\left({or}\:\mathrm{7}\right),\:{c}=\mathrm{7}\:\left({or}\:\mathrm{13}\right) \\ $$$${X}=\left(\alpha+\beta\right)−\alpha\beta=\frac{{b}−{c}}{{a}}=\frac{\mathrm{13}−\mathrm{7}}{\mathrm{3}}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{answer}\:{is}\:\mathrm{2}. \\ $$