Question Number 15194 by arnabpapu550@gmail.com last updated on 08/Jun/17
$$\mathrm{The}\:\mathrm{equation}\:\begin{vmatrix}{{x}−{a}}&{{x}−{b}}&{{x}−{c}}\\{{x}−{b}}&{{x}−{c}}&{{x}−{a}}\\{{x}−{c}}&{{x}−{a}}&{{x}−{b}}\end{vmatrix}=\mathrm{0}, \\ $$$$\mathrm{where}\:{a},\:{b},\:{c}\:\mathrm{are}\:\mathrm{different},\:\mathrm{is}\:\mathrm{satisfied}\:\mathrm{by} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 08/Jun/17
$$\:\begin{vmatrix}{{x}−{a}}&{{x}−{b}}&{{x}−{c}}\\{{x}−{b}}&{{x}−{c}}&{{x}−{a}}\\{{x}−{c}}&{{x}−{a}}&{{x}−{b}}\end{vmatrix}=\mathrm{0}, \\ $$$$\mathrm{R1}=\mathrm{R1}+\mathrm{R2}+\mathrm{R3} \\ $$$$\:\begin{vmatrix}{\mathrm{3}{x}−{a}−{b}−{c}}&{\mathrm{3}{x}−{a}−{b}−{c}}&{\mathrm{3}{x}−{c}−{b}−{a}}\\{{x}−{b}}&{{x}−{c}}&{{x}−{a}}\\{{x}−{c}}&{{x}−{a}}&{{x}−{b}}\end{vmatrix}=\mathrm{0}, \\ $$$$\:\left(\mathrm{3}{x}−{a}−{b}−{c}\right)\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{{x}−{b}}&{{x}−{c}}&{{x}−{a}}\\{{x}−{c}}&{{x}−{a}}&{{x}−{b}}\end{vmatrix}=\mathrm{0}, \\ $$$$\mathrm{C1}=\mathrm{C1}−\mathrm{C2},\mathrm{C2}=\mathrm{C2}−\mathrm{C3} \\ $$$$\:\left(\mathrm{3}{x}−{a}−{b}−{c}\right)\begin{vmatrix}{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{1}}\\{{c}−{b}}&{{a}−{c}}&{{x}−{a}}\\{{a}−{c}}&{{b}−{a}}&{{x}−{b}}\end{vmatrix}=\mathrm{0}, \\ $$$$\mathrm{3}{x}−{a}−{b}−{c}=\mathrm{0}\Rightarrow{x}=\frac{{a}+{b}+{c}}{\mathrm{3}} \\ $$
Commented by arnabpapu550@gmail.com last updated on 08/Jun/17
$$\mathrm{excellent}! \\ $$$$ \\ $$