Question Number 81876 by zainal tanjung last updated on 16/Feb/20
$$\mathrm{The}\:\mathrm{system}\:\mathrm{of}\:\mathrm{linear}\:\mathrm{equations}\:{x}+{y}+{z}=\mathrm{2}, \\ $$$$\mathrm{2}{x}+{y}−{z}=\mathrm{3},\:\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}{y}+{kz}=\mathrm{4}\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{unique} \\ $$$$\mathrm{solution}\:\mathrm{if} \\ $$
Commented by Tony Lin last updated on 16/Feb/20
$$\Delta=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{2}}&{\mathrm{1}}&{−\mathrm{1}}\\{\mathrm{3}}&{\mathrm{2}}&{{k}}\end{vmatrix} \\ $$$$={k}−\mathrm{3}+\mathrm{4}−\mathrm{3}+\mathrm{2}−\mathrm{2}{k} \\ $$$$=−{k}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{k}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\Delta_{{x}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{2}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{3}}&{\mathrm{1}}&{−\mathrm{1}}\\{\mathrm{4}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{0}}\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{6}−\mathrm{4}−\mathrm{4}+\mathrm{4}=\mathrm{2}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{when}\:{k}=\mathrm{0},\:{the}\:{equation}\:{has}\:{no}\:{solution} \\ $$$${k}\neq\mathrm{0},\:{the}\:{equation}\:{has}\:{a}\:{unique}\:{solution} \\ $$