Question-193511

Question Number 193511 by Lekhraj last updated on 15/Jun/23

Answered by a.lgnaoui last updated on 17/Jun/23

∡OAE=α OA=OB=OF=R ⇒∡OAF=∡OFA=α ⇒cos α=((AF)/(2R))=((11)/(2R)) ⇒ R=((11)/(2cos 𝛂)) (1) Surface triangle (AOE) est: S=((OA×AEsin 𝛂)/2)=((11×4sin 𝛂)/(cos 𝛂)) S=44tan𝛂 (2) avec { ((AE=16)),((OA=R=)) :} • triangle ( OBF) BF^2 =2R^2 (1−cos ϕ) (ϕ=(π/2) −(π−2α)=2α−(π/2) ) ⇒ BF^2 =2R^2 (1−sin 2𝛂) (3) •triangle (ABE) AE⊥BE (BE=r) AB^2 =AE^2 +r^2 ⇒ 2R^2 =16^2 +r^2 •BEF BF^2 =BE^2 +EF^2 =r^2 +25 =2R^2 −231 (4) 2R^2 (1−sin 2𝛂)=2R^2 −231 2R^2 sin 2𝛂−231=0 2(((11^2 )/(4cos^2 𝛂)))sin 2𝛂=231 (sin 2α=((2t)/(1+t^2 )), (1/(cos^2 𝛂))=1+t^2 ; t=tan α) 121t=231 t=((231)/(121)) (5) dans l expression(2) S=44tan 𝛂=((924)/(11)) Surface Triangle (AOE) =84

$$\measuredangle\mathrm{OAE}=\alpha\:\:\:\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OF}=\mathrm{R} \\ $$$$\Rightarrow\measuredangle\mathrm{OAF}=\measuredangle\mathrm{OFA}=\alpha \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{cos}\:\alpha=\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{2R}}=\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2R}}\:\Rightarrow\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2cos}\:\boldsymbol{\alpha}}\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Surface}\:\mathrm{triangle}\:\left(\mathrm{AOE}\right)\:\mathrm{est}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{S}}=\frac{\boldsymbol{\mathrm{OA}}×\boldsymbol{\mathrm{AE}}\mathrm{sin}\:\boldsymbol{\alpha}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{11}×\mathrm{4sin}\:\boldsymbol{\alpha}}{\mathrm{cos}\:\boldsymbol{\alpha}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{S}}=\mathrm{44tan}\boldsymbol{\alpha}\:\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{avec\begin{cases}{\boldsymbol{\mathrm{AE}}=\mathrm{16}}\\{\boldsymbol{\mathrm{OA}}=\boldsymbol{\mathrm{R}}=}\end{cases}} \\ $$$$\:\bullet\:\:\mathrm{triangle}\:\:\left(\:\mathrm{OBF}\right)\:\:\:\mathrm{BF}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2R}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\varphi\right) \\ $$$$\:\left(\varphi=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:−\left(\pi−\mathrm{2}\alpha\right)=\mathrm{2}\alpha−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\:\:\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{BF}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{R}}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\boldsymbol{\alpha}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\bullet\mathrm{triangle}\:\left(\mathrm{ABE}\right)\:\:\mathrm{AE}\bot\mathrm{BE}\:\:\:\:\left(\mathrm{BE}=\boldsymbol{\mathrm{r}}\right) \\ $$$$\mathrm{AB}^{\mathrm{2}} =\mathrm{AE}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\:\:\:\:\:\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{R}}^{\mathrm{2}} =\mathrm{16}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\bullet\mathrm{BEF}\:\:\:\mathrm{BF}^{\mathrm{2}} =\mathrm{BE}^{\mathrm{2}} +\mathrm{EF}^{\mathrm{2}} =\boldsymbol{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{25} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{R}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{231}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{R}}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\boldsymbol{\alpha}\right)=\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{R}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{231} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{R}}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\mathrm{2}\boldsymbol{\alpha}−\mathrm{231}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{11}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\alpha}}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\boldsymbol{\alpha}=\mathrm{231} \\ $$$$\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\alpha=\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{t}}}{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} },\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\alpha}}=\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} ;\:\:\boldsymbol{\mathrm{t}}=\mathrm{tan}\:\alpha\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{121}\boldsymbol{\mathrm{t}}=\mathrm{231}\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{231}}{\mathrm{121}}\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{5}\right) \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{dans}}\:\boldsymbol{\mathrm{l}}\:\boldsymbol{\mathrm{expression}}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{S}}=\mathrm{44tan}\:\boldsymbol{\alpha}=\frac{\mathrm{924}}{\mathrm{11}} \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{Surface}}\:\boldsymbol{\mathrm{Triangle}}\:\left(\boldsymbol{\mathrm{AOE}}\right)\:\:=\mathrm{84} \\ $$$$\: \\ $$

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