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dx-x-6-1-

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Question Number 193538 by cortano12 last updated on 16/Jun/23
∫ (dx/(x^6 +1)) =?
$$\:\:\:\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{1}}\:=? \\ $$
Answered by Subhi last updated on 16/Jun/23
∫(1/((x^2 +1)(x^4 −x^2 +1))) ⇛ ∫(a/(x^2 +1))+((bx^2 +cx+d)/(x^4 −x^2 +1)) ax^4 −ax^2 +a+bx^4 +bx^2 +cx^3 +cx+dx^2 +d (a+b)x^4 +(b−a+d)x^2 +cx^3 +cx+(d+a) c=0 ⇛ d+a = 1 ⇛ a+b = 0 ⇛ b−a+d=0 2d+b=1 ⇛ d+2b=0 b=((−1)/3) ⇛ d=(2/3) ⇛ a=(1/3) (1/3)∫(1/(x^2 +1)) + (1/3)∫((−x^2 +2)/(x^4 −x^2 +1)) ⇛ ((tan^(−1) (x))/3)−(1/3)∫((x^2 −2)/(x^4 −x^2 +1)) ∫((x^2 −2)/(x^4 −x^2 +1)) ↬ ∫((x^2 −2)/((x^2 +1)^2 −3x^2 )) ↬ ∫((x^2 −2)/((x^2 −(√3)x+1)(x^2 +(√3)x+1))) = ∫((ex+f)/(x^2 −(√3)x+1))+((gx+h)/(x^2 +(√3)x+1)) ex^3 +(√3)ex^2 +ex+fx^2 +(√3)fx+f+gx^3 −(√3)gx^2 +gx+hx^2 −(√3)hx+h (e+g)x^3 +((√3)e+f−(√3)g+h)x^2 +(e+(√3)f+g−(√3)h)x+(f+h) e+g=0 ⇛ (√3)(e−g)+f+h=1 ⇛ f+h=−2 e+g+(√3)(f−h)=0 ⇛f−h=0 ⇛ f=−1 ⇛ h=−1 e−g=(√3) ⇛ e=((√3)/2) ⇛ g = ((−(√3))/2) ∫((((√3)/2)x−1)/(x^2 −(√3)x+1))+∫((((−(√3))/2)x−1)/(x^2 +(√3)x+1)) ∫((((√3)/4).2x−(√3).((√3)/4)−(1/4))/(x^2 −(√3)x+1))−∫((((√3)/4).2x+(√3).((√3)/4)+(1/4))/(x^2 +(√3)x+1)) ((√3)/4).ln∣x^2 −(√3)x+1∣−((√3)/4).ln∣x^2 +(√3)x+1∣−(1/4)∫(1/(x^2 −(√3)x+1))−(1/4)∫(1/(x^2 +(√3)x+1)) ∫(1/(x^2 −(√3)x+1)) ⇛ ∫(1/((x−((√3)/2))^2 +(1/4))) ⇛ 4∫(1/((2x−(√3))^2 +1)) 2x−(√3)=v ⇛ 2dx = dv 2∫(dv/(v^2 +1)) ⇛ 2tan^(−1) (v)=2tan^(−1) (2x−(√3)) ∫(1/(x^2 +(√3)x+1))⇛4 ∫(1/((2x+(√3))^2 +1)) = 2tan^(−1) (2x+(√3)) (1/3)∫((−x^2 +2)/(x^4 −x^2 +1)) = ((√3)/(12)).ln∣((x^2 +(√3)x+1)/(x^2 −(√3)x+1))∣+(1/6)(arctan(2x−(√3))+arctan(2x+(√3))) ∫(1/(x^6 +1)) = ((√3)/(12)).ln∣((x^2 +(√3)x+1)/(x^2 −(√3)x+1))∣+((2arctan(x)+arctan(2x−(√3))+arctan(2x+(√3)))/6)
$$\int\frac{\mathrm{1}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\:\Rrightarrow\:\int\frac{{a}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}+{d}}{{x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$${ax}^{\mathrm{4}} −{ax}^{\mathrm{2}} +{a}+{bx}^{\mathrm{4}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}^{\mathrm{3}} +{cx}+{dx}^{\mathrm{2}} +{d} \\ $$$$\left({a}+{b}\right){x}^{\mathrm{4}} +\left({b}−{a}+{d}\right){x}^{\mathrm{2}} +{cx}^{\mathrm{3}} +{cx}+\left({d}+{a}\right) \\ $$$${c}=\mathrm{0}\:\:\Rrightarrow\:{d}+{a}\:=\:\mathrm{1}\:\Rrightarrow\:{a}+{b}\:=\:\mathrm{0}\:\Rrightarrow\:{b}−{a}+{d}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{d}+{b}=\mathrm{1}\:\:\Rrightarrow\:{d}+\mathrm{2}{b}=\mathrm{0} \\ $$$${b}=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\Rrightarrow\:{d}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:\Rrightarrow\:{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\Rrightarrow\:\frac{{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\looparrowright\:\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} }\:\looparrowright\:\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{\left({x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}\right)}\:=\:\int\frac{{ex}+{f}}{{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}}+\frac{{gx}+{h}}{{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${ex}^{\mathrm{3}} +\sqrt{\mathrm{3}}{ex}^{\mathrm{2}} +{ex}+{fx}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}{fx}+{f}+{gx}^{\mathrm{3}} −\sqrt{\mathrm{3}}{gx}^{\mathrm{2}} +{gx}+{hx}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{hx}+{h} \\ $$$$\left({e}+{g}\right){x}^{\mathrm{3}} +\left(\sqrt{\mathrm{3}}{e}+{f}−\sqrt{\mathrm{3}}{g}+{h}\right){x}^{\mathrm{2}} +\left({e}+\sqrt{\mathrm{3}}{f}+{g}−\sqrt{\mathrm{3}}{h}\right){x}+\left({f}+{h}\right) \\ $$$${e}+{g}=\mathrm{0}\:\:\Rrightarrow\:\sqrt{\mathrm{3}}\left({e}−{g}\right)+{f}+{h}=\mathrm{1}\:\Rrightarrow\:{f}+{h}=−\mathrm{2} \\ $$$${e}+{g}+\sqrt{\mathrm{3}}\left({f}−{h}\right)=\mathrm{0}\:\Rrightarrow{f}−{h}=\mathrm{0}\:\Rrightarrow\:{f}=−\mathrm{1}\:\Rrightarrow\:{h}=−\mathrm{1} \\ $$$${e}−{g}=\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rrightarrow\:{e}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\Rrightarrow\:{g}\:=\:\frac{−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\int\frac{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}}+\int\frac{\frac{−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\int\frac{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}.\mathrm{2}{x}−\sqrt{\mathrm{3}}.\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}{{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}}−\int\frac{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}.\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{3}}.\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}{{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}.{ln}\mid{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}\mid−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}.{ln}\mid{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}}\:\Rrightarrow\:\int\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\:\Rrightarrow\:\mathrm{4}\int\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{2}{x}−\sqrt{\mathrm{3}}={v}\:\Rrightarrow\:\mathrm{2}{dx}\:=\:{dv} \\ $$$$\mathrm{2}\int\frac{{dv}}{{v}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\Rrightarrow\:\mathrm{2}{tan}^{−\mathrm{1}} \left({v}\right)=\mathrm{2}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}}\Rrightarrow\mathrm{4}\:\int\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{2}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}}.{ln}\mid\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left({arctan}\left(\mathrm{2}{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)+{arctan}\left(\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right) \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{1}}\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}}.{ln}\mid\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}}\mid+\frac{\mathrm{2}{arctan}\left({x}\right)+{arctan}\left(\mathrm{2}{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)+{arctan}\left(\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$
Answered by aba last updated on 16/Jun/23
∫(dx/(x^6 +1))=∫((x^2 +1−x^2 )/((x^2 +1)(x^4 −x^2 +1)))dx =∫((x^2 +1)/((x^2 +1)(x^4 −x^2 +1)))dx−∫(x^2 /(x^6 +1))dx =(1/2)∫(((x^2 +1)−(x^2 −1))/(x^4 −x^2 +1))dx−∫(x^2 /((x^3 )^2 +1))dx =(1/2)∫((1+(1/x^2 ))/(x^2 −1+(1/x^2 )))dx−(1/2)∫((1−(1/x^2 ))/(x^2 −1+(1/x^2 )))dx−∫(x^2 /((x^3 )^2 +1))dx =(1/2)∫((1+(1/x^2 ))/((x−(1/x))^2 +1))dx+(1/2)∫((1−(1/x^2 ))/(3−(x+(1/x))^2 ))dx−∫(x^2 /((x^3 )^2 +1))dx =(1/2)arctan(x−(1/x))+(1/(2(√3)))arcot((1/( (√3)))(x+(1/x)))−(1/3)arctan(x^3 )+k
$$\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{1}}=\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\int\frac{\cancel{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\cancel{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}−\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}−\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx}−\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{3}−\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}−\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arcot}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)+\mathrm{k} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$

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