Question Number 193756 by Shlock last updated on 19/Jun/23
Answered by talminator2856792 last updated on 19/Jun/23
$$\:\:\mathrm{7}\left(\mathrm{7}{a}\:+\:{b}\right)\:+\:{c}\:=\:\mathrm{7}\left(\mathrm{40}\right)\:+\:\mathrm{6} \\ $$$$\:\: \\ $$$$\:\:\rightarrow\:{c}\:=\:\mathrm{6}\:\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{7}\right) \\ $$$$\:\:\rightarrow\:{c}\:=\:\mathrm{6} \\ $$$$\:\: \\ $$$$\:\:\mathrm{7}{a}\:+\:{b}\:=\:\mathrm{40} \\ $$$$\:\:\mathrm{since}\:{b}\:\mathrm{is}\:\mathrm{one}\:\mathrm{digit}, \\ $$$$\:\:\mathrm{difference}\:\mathrm{between}\:\mathrm{40}\:\mathrm{and}\:\mathrm{40}\:−\:{b}\:\mathrm{is}\:\: \\ $$$$\:\:\mathrm{a}\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{of}\:\mathrm{7}\:\mathrm{not}\:\mathrm{greater}\:\mathrm{than}\:\mathrm{9}; \\ $$$$\:\:\mathrm{only}\:\mathrm{7}\:×\:\mathrm{1}\:\mathrm{applies}. \\ $$$$\:\:\rightarrow\:{b}\:=\:\mathrm{40}\:−\:\mathrm{7}×\lfloor\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{7}}\rfloor \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{b}\:=\:\mathrm{5} \\ $$$$\:\: \\ $$$$\:\:\rightarrow\:{a}\:=\:\lfloor\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{7}}\rfloor \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}\:=\:\mathrm{5} \\ $$$$\:\: \\ $$$$\:\:{cba}\:−\:{abc}\:=\:\mathrm{655}\:−\:\mathrm{556} \\ $$$$\:\:=\:\mathrm{99} \\ $$