Ques-6-Let-G-be-a-group-and-let-C-c-G-c-a-a-c-a-G-Prove-that-C-is-subgroup-of-G-hence-or-otherwise-show-that-C-is-Abelian-Note-C-is-called-the-center-of-group-G-Ques-7-

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Question Number 193804 by Mastermind last updated on 20/Jun/23

$$\mathrm{Ques}.6$$$$\mathrm{Let}(\mathrm{G},\ast )\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{group}.\mathrm{and}\mathrm{let}$$$$\mathrm{C}=\{\mathrm{c}\in \mathrm{G}:\mathrm{c}\ast \mathrm{a}=\mathrm{a}\ast \mathrm{c}\mathrm{\forall }\mathrm{a}\in \mathrm{G}\}.\mathrm{Prove}$$$$\mathrm{that}\mathrm{C}\mathrm{is}\mathrm{subgroup}\mathrm{of}\mathrm{G}.\mathrm{hence}\mathrm{or}$$$$\mathrm{otherwise}\mathrm{show}\mathrm{that}\mathrm{C}\mathrm{is}\mathrm{Abelian}.$$$$$$$$\left[\mathrm{Note}\mathrm{C}\mathrm{is}\mathrm{called}\mathrm{the}\mathrm{center}\mathrm{of}\mathrm{group}\mathrm{G}\right]$$$$$$$$\mathrm{Ques}.7$$$$\mathrm{If}(\mathrm{G},\ast )\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{group}\mathrm{such}\mathrm{that}{(\mathrm{a}\ast \mathrm{b})}^2$$$$={\mathrm{a}}^2\ast {\mathrm{b}}^2\left(\mathrm{multiplicatively}\right)\mathrm{for}\mathrm{all}$$$$\mathrm{a},\mathrm{b}\in \mathrm{G}.\mathrm{Show}\mathrm{that}\mathrm{G}\mathrm{must}\mathrm{be}\mathrm{Abelian}$$

Answered by Rajpurohith last updated on 20/Jun/23

$$$$$$\left(7\right)Ishallomitthenotation\ast .$$$$i.e,By\mathit{a}\mathit{b}Imean\mathit{a}\ast \mathit{b}.$$$$Giventhat{\left(ab\right)}^2=a^2{b}^2\mathrm{\forall }a,b\in G$$$$\Rightarrow \left(ab\right)\left(ab\right)=aabb\mathrm{\forall }a,b\in G$$$$\Rightarrow abab=aabb\mathrm{\forall }a,b\in G$$$$\Rightarrow a^{-1}\left(abab\right)b^{-1}=a^{-1}\left(aabb\right)b^{-1}\mathrm{\forall }a,b\in G$$$$\Rightarrow ba=ab\mathrm{\forall }a,b\in G$$$$\Rightarrow GisAbelian.\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$$$$$$$$$$

Commented by Mastermind last updated on 20/Jun/23

$$\mathrm{Thank}\mathrm{you}\mathrm{so}\mathrm{much},\mathrm{God}\mathrm{will}\mathrm{bless}\mathrm{you}\mathrm{Inshallah}$$

Answered by gatocomcirrose last updated on 20/Jun/23

$$\mathrm{Note}\mathrm{that}\mathrm{e}\in \mathrm{C}\mathrm{since}\mathrm{e}\ast \mathrm{a}=\mathrm{a}\ast \mathrm{e},\mathrm{\forall }\mathrm{a}\in \mathrm{G}\Rightarrow \mathrm{C}\ne \varnothing$$$$\mathrm{Let}\mathrm{x},\mathrm{y}\in \mathrm{C},$$$$\Rightarrow \mathrm{x}\ast \mathrm{a}=\mathrm{a}\ast \mathrm{x}\Rightarrow \mathrm{a}={\mathrm{x}}^{-1}\ast \mathrm{a}\ast \mathrm{x}\Rightarrow \mathrm{a}\ast {\mathrm{x}}^{-1}={\mathrm{x}}^{-1}\ast \mathrm{a},\mathrm{\forall }\mathrm{a}\in \mathrm{G}$$$$\Rightarrow {\mathrm{x}}^{-1}\in \mathrm{G}$$$$(\mathrm{x}\ast \mathrm{y})\ast \mathrm{a}=\mathrm{x}\ast (\mathrm{y}\ast \mathrm{a})=\mathrm{x}\ast (\mathrm{a}\ast \mathrm{y})=(\mathrm{x}\ast \mathrm{a})\ast \mathrm{y}$$$$=(\mathrm{a}\ast \mathrm{x})\ast \mathrm{y}=\mathrm{a}\ast (\mathrm{x}\ast \mathrm{y}),\mathrm{\forall }\mathrm{a}\in \mathrm{G}\Rightarrow \mathrm{x}\ast \mathrm{y}\in \mathrm{G}$$$$$$$$\mathrm{Then}\mathrm{C}<\mathrm{G}\left(\mathrm{subgroup}\right).$$$$$$$$\mathrm{Let}\mathrm{x},\mathrm{y}\in \mathrm{C},\mathrm{since}\mathrm{C}<\mathrm{G}\therefore \mathrm{x},\mathrm{y}\in \mathrm{G}$$$$(\mathrm{x}\in \mathrm{C})\Rightarrow \mathrm{x}\ast \mathrm{a}=\mathrm{a}\ast \mathrm{x},\mathrm{\forall }\mathrm{a}\in \mathrm{G}$$$$\mathrm{for}\mathrm{a}=\mathrm{y}\in \mathrm{G}\Rightarrow \mathrm{x}\ast \mathrm{y}=\mathrm{y}\ast \mathrm{x}\Rightarrow \mathrm{C}\mathrm{is}\mathrm{abelian}$$

Commented by Mastermind last updated on 20/Jun/23

$$\mathrm{Thank}\mathrm{you}\mathrm{my}\mathrm{man}$$

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