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Question-193938

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Question Number 193938 by yaslm last updated on 23/Jun/23
Answered by BaliramKumar last updated on 23/Jun/23
15°
$$\mathrm{15}° \\ $$
Commented by yaslm last updated on 23/Jun/23
write method
Answered by mr W last updated on 23/Jun/23
(√2)a=(√((a+b)^2 +b^2 )) a^2 =2ab+2b^2 ((a/b))^2 −2((a/b))−2=0 ⇒(a/b)=1+(√3) tan α=(b/(a+b))=(1/(1+(√3)+1))=2−(√3) tan 2α=((2(2−(√3)))/(1−(2−(√3))^2 ))=((2−(√3))/(−3+2(√3)))=(1/( (√3))) ⇒2α=30° ⇒α=15°
$$\sqrt{\mathrm{2}}{a}=\sqrt{\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}{ab}+\mathrm{2}{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\frac{{a}}{{b}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\frac{{a}}{{b}}\right)−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{a}}{{b}}=\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\alpha=\frac{{b}}{{a}+{b}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}=\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\mathrm{2}\alpha=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{1}−\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{−\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\alpha=\mathrm{30}° \\ $$$$\Rightarrow\alpha=\mathrm{15}° \\ $$
Answered by BaliramKumar last updated on 23/Jun/23
Let AB = x & BE = FE = y ⇒ AC = AF = (√2)x AF^2 = AE^2 + FE^2 ((√2)x)^2 = (x+y)^2 + y^2 x^2 −2yx−2y^2 = 0 x = ((2y±(√(12y^2 )))/2) = y±(√3)y x = y+(√3)y [x ≠ y−(√3)y, ∵ x>y] x = ((√3) + 1)y sinα = ((FE)/(AF)) = (y/( (√2)(x))) = (y/( (√2)((√3) + 1)y)) = (((√3) −1)/( (√2)(3−1))) sinα = (((√3) − 1)/(2(√2))) = sin15° α = 15°
$$\mathrm{Let}\:\:\mathrm{AB}\:=\:\mathrm{x}\:\&\:\mathrm{BE}\:=\:\mathrm{FE}\:=\:\mathrm{y}\:\Rightarrow\:\mathrm{AC}\:=\:\mathrm{AF}\:=\:\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{AF}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{AE}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{FE}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2yx}−\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\:=\:\frac{\mathrm{2y}\pm\sqrt{\mathrm{12y}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{y}\pm\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{y}\: \\ $$$$\mathrm{x}\:=\:\mathrm{y}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{y}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left[\mathrm{x}\:\neq\:\mathrm{y}−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{y},\:\because\:\mathrm{x}>\mathrm{y}\right] \\ $$$$\mathrm{x}\:=\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\:\mathrm{1}\right)\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{sin}\alpha\:=\:\frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{AF}}\:=\:\frac{\mathrm{y}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}\right)}\:=\:\frac{\cancel{\mathrm{y}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\:\mathrm{1}\right)\cancel{\mathrm{y}}}\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{sin}\alpha\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:=\:\mathrm{sin15}° \\ $$$$\alpha\:=\:\mathrm{15}° \\ $$
Answered by talminator2856792 last updated on 23/Jun/23
by pythagorean theorem: AB^( 2) + BC^( 2) = AB^( 2) + BE^( 2) + 2 AB ∙ BE + FE^( 2) AB^( 2) = BE^( 2) + 2 AB ∙ BE + FE^( 2) AB^( 2) = 2BE^( 2) + 2 AB ∙ BE AB^( 2) − 2 AB ∙ BE − 2BE^( 2) = 0 AB^( 2) − 2 AB ∙ BE + BE^( 2) = 3BE^( 2) (AB − BE)^2 = 3BE^( 2) (AB − BE)^2 − ((√3)BE)^2 = 0 (AB − BE − (√3)BE)(AB − BE + (√3)BE) = 0 (AB − BE(1+ (√3)))(AB − BE(1− (√3))) = 0 AB = BE(1+ (√3)) AB = BE((√3) −1) ⇒ α = arctan (1/( 2 + (√3) )) α = 15°
$$\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{pythagorean}\:\mathrm{theorem}:\:\: \\ $$$$\:\:{AB}^{\:\mathrm{2}} \:+\:{BC}^{\:\mathrm{2}} \:=\:{AB}^{\:\mathrm{2}} \:+\:{BE}^{\:\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2}\:{AB}\:\centerdot\:{BE}\:+\:{FE}^{\:\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$$$\:\:{AB}^{\:\mathrm{2}} \:=\:{BE}^{\:\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2}\:{AB}\:\centerdot\:{BE}\:+\:{FE}^{\:\mathrm{2}} \:\: \\ $$$$\:\:{AB}^{\:\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{2}{BE}^{\:\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2}\:{AB}\:\centerdot\:{BE} \\ $$$$\:\:{AB}^{\:\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2}\:{AB}\:\centerdot\:{BE}\:−\:\mathrm{2}{BE}^{\:\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:{AB}^{\:\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2}\:{AB}\:\centerdot\:{BE}\:+\:{BE}^{\:\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{3}{BE}^{\:\mathrm{2}} \:\: \\ $$$$\:\:\left({AB}\:−\:{BE}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{3}{BE}^{\:\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\left({AB}\:−\:{BE}\right)^{\mathrm{2}} \:−\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}{BE}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{0}\:\: \\ $$$$\:\:\left({AB}\:−\:{BE}\:−\:\sqrt{\mathrm{3}}{BE}\right)\left({AB}\:−\:{BE}\:+\:\sqrt{\mathrm{3}}{BE}\right)\:=\:\mathrm{0}\:\: \\ $$$$\:\:\left({AB}\:−\:{BE}\left(\mathrm{1}+\:\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right)\left({AB}\:−\:{BE}\left(\mathrm{1}−\:\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right)\:=\:\mathrm{0}\:\: \\ $$$$\:\:{AB}\:=\:{BE}\left(\mathrm{1}+\:\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\:\:{AB}\:=\:{BE}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\: \\ $$$$\:\:\Rightarrow\:\alpha\:=\:\mathrm{arctan}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2}\:+\:\sqrt{\mathrm{3}}\:\:}\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\alpha\:=\:\mathrm{15}°\:\:\:\:\:\: \\ $$

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