Question Number 194058 by Mastermind last updated on 27/Jun/23
$$\mathrm{Ques}.\:\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{Let}\:\mathrm{G}\:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{5}} \:×\:\mathrm{C}_{\mathrm{25}} \:×\:\mathrm{C}_{\mathrm{625}} .\:\mathrm{Determine} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{of}\:\mathrm{each}\:\mathrm{order}\:\mathrm{in}\:\mathrm{G} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Ques}.\:\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{List}\:\mathrm{the}\:\mathrm{abelian}\:\mathrm{groups}\:\mathrm{of}\:\mathrm{order}\:\mathrm{16} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{of}\:\mathrm{order}\:\mathrm{27}\:\mathrm{up}\:\mathrm{to}\:\mathrm{Isomorphism}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Ques}.\:\mathrm{3}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{Describe}\:\mathrm{a}\:\mathrm{Sylow}\:\mathrm{2}−\mathrm{subgroup}\:\mathrm{in}\:\mathrm{S}_{\mathrm{5}} , \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{how}\:\mathrm{many}\:\mathrm{Sylow}\:\mathrm{2}−\mathrm{subgroups}\:\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{S}_{\mathrm{5}} \:? \\ $$