Question Number 194204 by Rupesh123 last updated on 30/Jun/23
Answered by MM42 last updated on 30/Jun/23
$${if}\:\:{n}={m}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{2}{a}_{\mathrm{0}} −\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}{a}_{\mathrm{0}} \right)\Rightarrow{a}_{\mathrm{0}} =\mathrm{1} \\ $$$${if}\:\:{m}=\mathrm{1}\:,\:{n}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{0}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{6}−\mathrm{2}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\Rightarrow{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{7} \\ $$$${m}=\mathrm{2}\:,{n}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{2}{a}_{\mathrm{2}} −\mathrm{3}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({a}_{\mathrm{4}} +{a}_{\mathrm{0}} \right) \\ $$$$\mathrm{11}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({a}_{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)\Rightarrow{a}_{\mathrm{4}} =\mathrm{21} \\ $$$${m}=\mathrm{2}\:\:,{n}=\mathrm{1}\Rightarrow{a}_{\mathrm{3}} +{a}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({a}_{\mathrm{4}} +{a}_{\mathrm{2}} \right) \\ $$$${a}_{\mathrm{3}} +\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{21}+\mathrm{7}\right)\Rightarrow{a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{13} \\ $$$${m}=\mathrm{3}\:,\:{n}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{2}{a}_{\mathrm{3}} −\mathrm{4}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({a}_{\mathrm{6}} +{a}_{\mathrm{0}} \right) \\ $$$$\mathrm{44}={a}_{\mathrm{6}} +\mathrm{1}\Rightarrow{a}_{\mathrm{6}} =\mathrm{43} \\ $$$${m}=\mathrm{3}\:,\:{n}=\mathrm{2}\Rightarrow{a}_{\mathrm{5}} +{a}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({a}_{\mathrm{6}} +{a}_{\mathrm{4}} \right) \\ $$$${a}_{\mathrm{5}} +\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{43}+\mathrm{21}\right)\Rightarrow{a}_{\mathrm{5}} =\mathrm{31} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{{n}} :\:\mathrm{1},\mathrm{3},\mathrm{7},\mathrm{13},\mathrm{21},\mathrm{31},\mathrm{43},… \\ $$$$\Rightarrow{a}_{{n}} ={a}_{{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{2}{n}\:\:\:;\:{n}\geqslant\mathrm{1}\:\:,\:\:{a}_{\mathrm{0}} =\mathrm{1}\:\:\: \\ $$$$\Rightarrow{a}_{{n}} =\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{4}+…+\mathrm{2}{n}= \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+{n}\right)={n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{\mathrm{2024}} =\mathrm{2024}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2024}+\mathrm{1}=\mathrm{4098601}\checkmark \\ $$$$ \\ $$
Commented by Rupesh123 last updated on 30/Jun/23
Perfect ��