Question Number 194241 by tri26112004 last updated on 01/Jul/23
Answered by mr W last updated on 02/Jul/23
![assumed a,b∈N (1/(n(n+a)(n+b)))=(A/n)+(B/(n+a))+(C/(n+b)) (A+B+C)n^2 +[(2a+b)A+bB]n+abA=1 A+B+C=0 (2a+b)A+bB=0 abA=1 ⇒A=(1/(ab)) ⇒B=−((2a+b)/(ab^2 )) ⇒C=(2/b^2 ) Σ_(n=1) ^∞ (1/(n(n+a)(n+b))) =Σ_(n=1) ^∞ ((A/n)+(B/(n+a))+(C/(n+b))) =Σ_(n=1) ^∞ ((A/n))+Σ_(n=1) ^∞ ((B/(n+a)))+Σ_(n=1) ^∞ ((C/(n+b))) =Σ_(n=1) ^b ((A/n))+Σ_(n=1) ^(b−a) ((B/(n+a)))+Σ_(n=b+1) ^∞ ((A/n))+Σ_(n=b−a+1) ^∞ ((B/(n+a)))+Σ_(n=1) ^∞ ((C/(n+b))) =Σ_(n=1) ^b ((A/n))+Σ_(n=1) ^(b−a) ((B/(n+a)))+Σ_(n=b+1) ^∞ ((A/n))+Σ_(n=b+1) ^∞ ((B/n))+Σ_(n=b+1) ^∞ ((C/n)) =Σ_(n=1) ^b ((A/n))+Σ_(n=1) ^(b−a) ((B/(n+a)))+Σ_(n=b+1) ^∞ (((A+B+C)/n)) =Σ_(n=1) ^b ((A/n))+Σ_(n=1) ^(b−a) ((B/(n+a))) =Σ_(n=1) ^b ((A/n))+Σ_(n=a+1) ^b ((B/n)) =(1/(ab))[Σ_(n=1) ^b (1/n)−(((2a)/b)+1)Σ_(n=a+1) ^b (1/n)] =(1/(ab))(Σ_(n=1) ^a (1/n)−((2a)/b)Σ_(n=a+1) ^b (1/n)) =(1/(ab))Σ_(n=1) ^a (1/n)−(2/b^2 )Σ_(n=a+1) ^b (1/n) ✓](https://www.tinkutara.com/question/Q194288.png)
$${assumed}\:{a},{b}\in{N} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{n}\left({n}+{a}\right)\left({n}+{b}\right)}=\frac{{A}}{{n}}+\frac{{B}}{{n}+{a}}+\frac{{C}}{{n}+{b}} \\ $$$$\left({A}+{B}+{C}\right){n}^{\mathrm{2}} +\left[\left(\mathrm{2}{a}+{b}\right){A}+{bB}\right]{n}+{abA}=\mathrm{1} \\ $$$${A}+{B}+{C}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2}{a}+{b}\right){A}+{bB}=\mathrm{0} \\ $$$${abA}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{A}=\frac{\mathrm{1}}{{ab}} \\ $$$$\Rightarrow{B}=−\frac{\mathrm{2}{a}+{b}}{{ab}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow{C}=\frac{\mathrm{2}}{{b}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}\left({n}+{a}\right)\left({n}+{b}\right)} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{A}}{{n}}+\frac{{B}}{{n}+{a}}+\frac{{C}}{{n}+{b}}\right) \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{A}}{{n}}\right)+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{B}}{{n}+{a}}\right)+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{C}}{{n}+{b}}\right) \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{b}} {\sum}}\left(\frac{{A}}{{n}}\right)+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{b}−{a}} {\sum}}\left(\frac{{B}}{{n}+{a}}\right)+\underset{{n}={b}+\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{A}}{{n}}\right)+\underset{{n}={b}−{a}+\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{B}}{{n}+{a}}\right)+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{C}}{{n}+{b}}\right) \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{b}} {\sum}}\left(\frac{{A}}{{n}}\right)+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{b}−{a}} {\sum}}\left(\frac{{B}}{{n}+{a}}\right)+\underset{{n}={b}+\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{A}}{{n}}\right)+\underset{{n}={b}+\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{B}}{{n}}\right)+\underset{{n}={b}+\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{C}}{{n}}\right) \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{b}} {\sum}}\left(\frac{{A}}{{n}}\right)+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{b}−{a}} {\sum}}\left(\frac{{B}}{{n}+{a}}\right)+\underset{{n}={b}+\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{A}+{B}+{C}}{{n}}\right) \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{b}} {\sum}}\left(\frac{{A}}{{n}}\right)+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{b}−{a}} {\sum}}\left(\frac{{B}}{{n}+{a}}\right) \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{b}} {\sum}}\left(\frac{{A}}{{n}}\right)+\underset{{n}={a}+\mathrm{1}} {\overset{{b}} {\sum}}\left(\frac{{B}}{{n}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{ab}}\left[\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{b}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\left(\frac{\mathrm{2}{a}}{{b}}+\mathrm{1}\right)\underset{{n}={a}+\mathrm{1}} {\overset{{b}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{ab}}\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{a}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{2}{a}}{{b}}\underset{{n}={a}+\mathrm{1}} {\overset{{b}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{ab}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{a}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{2}}{{b}^{\mathrm{2}} }\underset{{n}={a}+\mathrm{1}} {\overset{{b}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\:\checkmark \\ $$
Commented by tri26112004 last updated on 03/Jul/23
$${Thank}\:{you}\:{so}\:{much} \\ $$