n-1-1-n-2-n-a-a-0-

Question Number 194445 by tri26112004 last updated on 06/Jul/23

$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+{a}\right)}=¿ \\ $$$$\left({a}\neq\mathrm{0}\right) \\ $$

Answered by mr W last updated on 08/Jul/23

((An+B)/n^2 )+(C/(n+a))=(((A+C)n^2 +(aA+B)n+aB)/(n^2 (n+a))) aB=1 ⇒B=(1/a) aA+B=0 ⇒A=−(B/a)=−(1/a^2 ) A+C=0 ⇒C=−1=(1/a^2 ) Σ_(n=1) ^∞ (1/(n^2 (n+a))) =Σ_(n=1) ^∞ ((B/n^2 )+(A/n)+(C/(n+a))) =BΣ_(n=1) ^∞ (1/n^2 )+Σ_(n=1) ^∞ ((A/n))+Σ_(n=1) ^∞ ((C/(n+a))) =BΣ_(n=1) ^∞ (1/n^2 )+Σ_(n=1) ^a ((A/n))+Σ_(n=a+1) ^∞ ((A/n))+Σ_(n=1) ^∞ ((C/(n+a))) =BΣ_(n=1) ^∞ (1/n^2 )+AΣ_(n=1) ^a (1/n)+Σ_(n=1) ^∞ ((A/(n+a)))+Σ_(n=1) ^∞ ((C/(n+a))) =BΣ_(n=1) ^∞ (1/n^2 )+AΣ_(n=1) ^a (1/n)+Σ_(n=1) ^∞ (((A+C)/(n+a))) =BΣ_(n=1) ^∞ (1/n^2 )+AΣ_(n=1) ^a (1/n) =(1/a)Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 )−(1/a^2 )Σ_(n=1) ^a (1/n) =(π^2 /(6a))−(1/a^2 )Σ_(n=1) ^a (1/n)

$$\frac{{An}+{B}}{{n}^{\mathrm{2}} }+\frac{{C}}{{n}+{a}}=\frac{\left({A}+{C}\right){n}^{\mathrm{2}} +\left({aA}+{B}\right){n}+{aB}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+{a}\right)} \\ $$$${aB}=\mathrm{1}\:\Rightarrow{B}=\frac{\mathrm{1}}{{a}} \\ $$$${aA}+{B}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{A}=−\frac{{B}}{{a}}=−\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${A}+{C}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{C}=−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+{a}\right)} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{B}}{{n}^{\mathrm{2}} }+\frac{{A}}{{n}}+\frac{{C}}{{n}+{a}}\right) \\ $$$$={B}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{A}}{{n}}\right)+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{C}}{{n}+{a}}\right) \\ $$$$={B}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{a}} {\sum}}\left(\frac{{A}}{{n}}\right)+\underset{{n}={a}+\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{A}}{{n}}\right)+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{C}}{{n}+{a}}\right) \\ $$$$={B}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }+{A}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{a}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{A}}{{n}+{a}}\right)+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{C}}{{n}+{a}}\right) \\ $$$$={B}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }+{A}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{a}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{A}+{C}}{{n}+{a}}\right) \\ $$$$={B}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }+{A}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{a}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{a}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} }\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{a}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}{a}}−\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} }\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{a}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$

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