Question Number 194509 by pascal889 last updated on 08/Jul/23
Answered by horsebrand11 last updated on 09/Jul/23
$$\:\:\left.\begin{matrix}{\mathrm{u}=\mathrm{x}+\mathrm{2y}}\\{\mathrm{v}=\mathrm{2x}+\mathrm{y}}\end{matrix}\right\}\Rightarrow\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{u}+\mathrm{v} \\ $$$$\:\Rightarrow\left.\begin{matrix}{\mathrm{u}+\mathrm{v}=\mathrm{uv}}\\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{v}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{3}}\end{matrix}\right\}\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{u}+\mathrm{v}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3uv}^{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{u}+\mathrm{v}=\mathrm{uv}}\end{cases} \\ $$$$\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{u}=\frac{\mathrm{v}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\\{\mathrm{u}=\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{v}−\mathrm{1}}}\end{cases}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{v}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{v}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\Rightarrow\mathrm{v}\left(\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{3v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{v}−\mathrm{1}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{v}=\mathrm{0}\:\left(\mathrm{rejected}\right) \\ $$$$\:\left(\mathrm{2}\right)\:\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{3v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{v}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\mathrm{v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{v}=\:\mathrm{3v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{2v}^{\mathrm{2}} +\mathrm{v}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{2v}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{v}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{v}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{v}=−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{u}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\\{\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{2y}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{2x}+\mathrm{y}=−\mathrm{1}}\end{cases}}\end{cases} \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{2x}+\mathrm{4y}=\mathrm{1}}\\{\mathrm{2x}+\mathrm{y}=−\mathrm{1}}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{y}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}\\{\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}}\end{cases} \\ $$$$\:\left(\mathrm{4}\right)\mathrm{v}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{u}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{2y}=−\mathrm{1}}\\{\mathrm{2x}+\mathrm{y}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$\:\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{2y}=−\mathrm{1}}\\{\mathrm{4x}+\mathrm{2y}=\mathrm{1}}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}\\{\mathrm{y}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}}\end{cases} \\ $$$$\:\:\therefore\:\mathrm{solution}\:\left(\mathrm{x}\:,\mathrm{y}\right)=\left\{\left(−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}},\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right),\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}},−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\right)\right\} \\ $$
Commented by pascal889 last updated on 10/Jul/23
$$\mathrm{please}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{how}\:\mathrm{is}\:\mathrm{3}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}+\boldsymbol{\mathrm{y}}\right)=\boldsymbol{\mathrm{u}}+\boldsymbol{\mathrm{v}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{i}}\:\boldsymbol{\mathrm{dont}}\:\boldsymbol{\mathrm{understand}}\:\boldsymbol{\mathrm{the}}\:\boldsymbol{\mathrm{side}}\:\boldsymbol{\mathrm{sir}} \\ $$
Answered by Frix last updated on 09/Jul/23
$$\mathrm{Let}\:{y}={px}\:\Rightarrow\:{x}\neq\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{transform} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\:\left({p}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right){x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\left({p}+\mathrm{1}\right){x}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\:\mathrm{3}\left({p}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right){x}^{\mathrm{3}} −\left({p}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right){x}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\:{x}=\frac{\mathrm{3}\left({p}+\mathrm{1}\right)}{\left({p}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\:{p}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{41}{p}}{\mathrm{20}}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{p}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\vee{p}=−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\wedge{y}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\:\vee\:{x}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\wedge{y}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$