Question Number 194559 by MM42 last updated on 09/Jul/23
$${repeat}\:{question} \\ $$$${Shiw}\:{that}\:: \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{i}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{i}}\right)=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{n}+{i}}\:\:? \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 10/Jul/23
$$\mathrm{n}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{1}} \\ $$$$\forall\mathrm{n}\in\mathbb{Z}_{+} \mathrm{suppose}\:\mathrm{True}\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{i}}}=\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{i}} \\ $$$$\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\overset{?} {=}\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}+\mathrm{i}}=\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}+\mathrm{i}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Leftrightarrow\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}= \\ $$$$\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{i}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{i}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}+\mathrm{i}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}+\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}+\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{i}}….\mathrm{True} \\ $$$$ \\ $$
Commented by MM42 last updated on 10/Jul/23
$${excellent}\:\:\bigstar \\ $$
Commented by witcher3 last updated on 11/Jul/23
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{You}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by MM42 last updated on 10/Jul/23
$$\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)+…+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}\right)−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}\right) \\ $$$$+\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}\right)−\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…+\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}\right)−\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}\:\checkmark \\ $$$$ \\ $$