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Question Number 194634 by York12 last updated on 12/Jul/23
a_1 ,a_2 ,a_3 ,....,a_n >0 such that a_i ∈[0,i] ∀ i∈{1,2,3,4,...,n} prove that 2^n .a_1 (a_1 +a_2 )...(a_1 +a_2 +...+a_n )≥(n+1)(a_1 ^2 .a_2 ^2 ...a_n ^2 )
$${a}_{\mathrm{1}} ,{a}_{\mathrm{2}} ,{a}_{\mathrm{3}} ,….,{a}_{{n}} >\mathrm{0}\:{such}\:{that}\:{a}_{{i}} \in\left[\mathrm{0},{i}\right]\: \\ $$$$\forall\:{i}\in\left\{\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4},…,{n}\right\}\:{prove}\:{that} \\ $$$$\mathrm{2}^{{n}} .{a}_{\mathrm{1}} \left({a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} \right)…\left({a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +…+{a}_{{n}} \right)\geqslant\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} .{a}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} …{a}_{{n}} ^{\mathrm{2}} \right) \\ $$
Answered by York12 last updated on 12/Jul/23
a_1 +a_2 +a_3 +...+a_k =1×(a_1 /1)+2×(a_2 /2)+3×(a_3 /3)+...k×(a_k /k) ((Σ_(i=1) ^k (((i×a_i )/i)))/(Σ_(i=1) ^k (i)))≥Π_(i=1) ^k (((a_i /i))^(i/(Σ_(i=1) ^k (i))) ) ⇒Σ_(i=1) ^k (((i×a_i )/i))≥Σ_(i=1) ^k (i)×Π_(i=1) ^k (((a_i /i))^(i/(Σ_(i=1) ^k (i))) ) ⇒Π_(k=1) ^n (Σ_(i=1) ^k (((i×a_i )/i)))≥Π_(k=1) ^n (Σ_(i=1) ^k (i)×Π_(i=1) ^k (((a_i /i))^(i/(Σ_(i=1) ^k (i))) ) =Π_(k=1) ^n (Σ_(i=1) ^k (i))×Π_(k=1) ^n (Π_(i=1) ^k (((a_i /i))^(i/(Σ_(i=1) ^k (i))) ) =((Π_(k=1) ^n ((k)(k+1)))/(Π_(k=1) ^n (2)))×Π_(k=1) ^n (((a_k /k))^((2kΣ_(m=k) ^n ((1/(m(m+1)))))) ) (1/(m(m+1)))=(1/m)−(1/(m+1))⇒ Σ_(m=k) ^n ((1/(m(m+1))))=Σ_(m=k) ^n ((1/m))−Σ_(m=k) ^n ((1/(m+1)))=((1/k)−(1/(n+1))) ((Π_(k=1) ^n ((k)(k+1)))/(Π_(k=1) ^n (2)))×Π_(k=1) ^n (((a_k /k))^((2kΣ_(m=k) ^n ((1/(m(m+1)))))) ) =((Π_(k=1) ^n ((k)(k+1)))/(Π_(k=1) ^n (2)))×Π_(k=1) ^n (((a_k /k))^((2k((1/k)−(1/(n+1)))) ) 2k((1/k)−(1/(n+1)))=2(((n+1−k)/(n+1))) (((n+1−k)/(n+1)))≤1⇒2(((n+1−k)/(n+1)))≤2 ((a_k /k))≤1⇒((a_k /k))^(2(((n+1−k)/(n+1)))) ≥((a_k /k))^2 ((Π_(k=1) ^n ((k)(k+1)))/(Π_(k=1) ^n (2)))×Π_(k=1) ^n (((a_k /k))^((2k((1/k)−(1/(n+1)))) )≥((Π_(k=1) ^n ((k)(k+1)))/(Π_(k=1) ^n (2)))×Π_(k=1) ^n (((a_k /k))^((2)) ) =((n+1)/2^n )(a_1 ^2 a_2 ^2 a_3 ^2 ...a_n ^2 ) ⇒Π_(k=1) ^n (2Σ_(i=1) ^k (((i×a_i )/i)))≥(n+1)(a_1 ^2 a_2 ^2 a_3 ^2 ...a_n ^2 ) ▽
$$ \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} +…+{a}_{{k}} =\mathrm{1}×\frac{{a}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{1}}+\mathrm{2}×\frac{{a}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{3}×\frac{{a}_{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}+…{k}×\frac{{a}_{{k}} }{{k}} \\ $$$$\frac{\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\left(\frac{{i}×{a}_{{i}} }{{i}}\right)}{\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\left({i}\right)}\geqslant\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\prod}}\left(\left(\frac{{a}_{{i}} }{{i}}\right)^{\frac{{i}}{\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\left({i}\right)}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\left(\frac{{i}×{a}_{{i}} }{{i}}\right)\geqslant\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\left({i}\right)×\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\prod}}\left(\left(\frac{{a}_{{i}} }{{i}}\right)^{\frac{{i}}{\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\left({i}\right)}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\left(\frac{{i}×{a}_{{i}} }{{i}}\right)\right)\geqslant\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\left({i}\right)×\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\prod}}\left(\left(\frac{{a}_{{i}} }{{i}}\right)^{\frac{{i}}{\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\left({i}\right)}} \right)\right. \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\left({i}\right)\right)×\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\prod}}\left(\left(\frac{{a}_{{i}} }{{i}}\right)^{\frac{{i}}{\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\left({i}\right)}} \right)\right. \\ $$$$=\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\left({k}\right)\left({k}+\mathrm{1}\right)\right)}{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{2}\right)}×\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\left(\frac{{a}_{{k}} }{{k}}\right)^{\left(\mathrm{2}{k}\underset{{m}={k}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)}\right)\right)} \right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{{m}}−\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}}\Rightarrow\:\underset{{m}={k}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)}\right)=\underset{{m}={k}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{m}}\right)−\underset{{m}={k}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}}\right)=\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\left({k}\right)\left({k}+\mathrm{1}\right)\right)}{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{2}\right)}×\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\left(\frac{{a}_{{k}} }{{k}}\right)^{\left(\mathrm{2}{k}\underset{{m}={k}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)}\right)\right)} \right) \\ $$$$=\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\left({k}\right)\left({k}+\mathrm{1}\right)\right)}{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{2}\right)}×\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\left(\frac{{a}_{{k}} }{{k}}\right)^{\left(\mathrm{2}{k}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)\right.} \right) \\ $$$$\mathrm{2}{k}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)=\mathrm{2}\left(\frac{{n}+\mathrm{1}−{k}}{{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\left(\frac{{n}+\mathrm{1}−{k}}{{n}+\mathrm{1}}\right)\leqslant\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{2}\left(\frac{{n}+\mathrm{1}−{k}}{{n}+\mathrm{1}}\right)\leqslant\mathrm{2} \\ $$$$\left(\frac{{a}_{{k}} }{{k}}\right)\leqslant\mathrm{1}\Rightarrow\left(\frac{{a}_{{k}} }{{k}}\right)^{\mathrm{2}\left(\frac{{n}+\mathrm{1}−{k}}{{n}+\mathrm{1}}\right)} \geqslant\left(\frac{{a}_{{k}} }{{k}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\left({k}\right)\left({k}+\mathrm{1}\right)\right)}{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{2}\right)}×\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\left(\frac{{a}_{{k}} }{{k}}\right)^{\left(\mathrm{2}{k}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)\right.} \right)\geqslant\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\left({k}\right)\left({k}+\mathrm{1}\right)\right)}{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{2}\right)}×\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\left(\frac{{a}_{{k}} }{{k}}\right)^{\left(\mathrm{2}\right)} \right) \\ $$$$=\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\left({a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} …{a}_{{n}} ^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{2}\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\left(\frac{{i}×{a}_{{i}} }{{i}}\right)\right)\geqslant\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} …{a}_{{n}} ^{\mathrm{2}} \right)\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\bigtriangledown \\ $$

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