Show-that-in-fibonacci-sequence-f-3n-f-n-3-f-n-1-3-f-n-1-3-

Question Number 194709 by MM42 last updated on 13/Jul/23

S h o w t h a t i n f i b o n a c c i s e q u e n c e

f_{3 n} = f_{n}^{3} + f_{n + 1}^{3} - f_{n - 1}^{3}

Answered by TheHoneyCat last updated on 14/Jul/23

Let φ := \frac{1 + \sqrt{5}}{2} and ψ := \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

You might know that f_{n} = \frac{φ^{n} - ψ^{n}}{\sqrt{5}}

from that we can compute :

X = f_{n}^{3} + f_{n + 1}^{3} - f_{n - 1}^{3}

= \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{1}{5} ({(φ^{n} - ψ^{n})}^{3} + {(φ^{n + 1} - ψ^{n + 1})}^{3} - {(φ^{n - 1} - ψ^{n - 1})}^{3})

= \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{1}{5} (φ^{3 n} - 3 φ^{2 n} ψ^{n} + 3 φ^{n} ψ^{2 n} - ψ^{3 n}

+ φ^{3 n + 3} - 3 φ^{2 n + 2} ψ^{n + 1} + 3 φ^{n + 1} ψ^{2 n + 2} - ψ^{3 n + 3}

- φ^{3 n - 3} + 3 φ^{2 n - 2} ψ^{n - 1} - 3 φ^{n - 1} ψ^{2 n - 2} + ψ^{3 n - 3})

= \frac{1}{5} (f_{3 n} + f_{3 n + 3} - f_{3 n - 3}) + \frac{3}{5 \times \sqrt{5}} (- φ^{2 n} ψ^{n} + φ^{n} ψ^{2 n}

- φ^{2 n + 2} ψ^{n + 1} + φ^{n + 1} ψ^{2 n + 2} + φ^{2 n - 2} ψ^{n - 1} - φ^{n - 1} ψ^{2 n - 2})

= \frac{1}{5} (f_{3 n} + f_{3 n + 1} + f_{3 n + 2} - f_{3 n - 3})

+ \frac{3 φ^{n - 1} ψ^{n - 1}}{5 \times \sqrt{5}} (- φ^{n + 1} ψ + φ ψ^{n + 1} - φ^{n + 3} ψ^{2}

+ φ^{2} ψ^{n + 3} + φ^{n - 1} - ψ^{n - 1})

= \frac{1}{5} (f_{3 n} + f_{3 n} + f_{3 n - 1} + f_{3 n + 1} + f_{3 n} - f_{3 n - 3})

+ \frac{3 φ^{n - 1} ψ^{n - 1}}{5 \times \sqrt{5}} (- φ^{n + 1} ψ + φ ψ^{n + 1} - φ^{n + 3} ψ^{2}

+ φ^{2} ψ^{n + 3} + φ^{n - 1} - ψ^{n - 1})

Now this is the moment where you use the fact

that ψ = \frac{- 1}{φ}

X = \frac{1}{5} (3 f_{3 n} + f_{3 n - 1} + f_{3 n} + f_{3 n - 1} - f_{3 n - 3})

+ \frac{3 {(- 1)}^{n + 1}}{5 \sqrt{5}} (φ^{n} - ψ^{n} - φ^{n + 1} + ψ^{n - 1} + φ^{n - 1} - ψ^{n - 1})

= \frac{1}{5} (4 f_{3 n} + f_{3 n - 1} + f_{3 n - 2} + f_{3 n - 3} - f_{3 n - 3})

+ \frac{3 {(- 1)}^{n + 1}}{5} (f_{n - 1} + f_{n} - f_{n + 1})

= \frac{1}{5} (4 f_{3 n} + f_{3 n - 1} + f_{3 n - 2}) + 0

= \frac{1}{5} (4 f_{3 n} + f_{3 n})

= f_{3 n}_{}

There you go .