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Show-that-in-fibonacci-sequence-f-3n-f-n-3-f-n-1-3-f-n-1-3-

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Question Number 194709 by MM42 last updated on 13/Jul/23
Show that in fibonacci sequence f_(3n) =f_n ^3 +f_(n+1) ^3 −f_(n−1) ^3
$${Show}\:{that}\:\:{in}\:{fibonacci}\:{sequence} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{f}_{\mathrm{3}{n}} ={f}_{{n}} ^{\mathrm{3}} +{f}_{{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} −{f}_{{n}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by TheHoneyCat last updated on 14/Jul/23
Let ϕ:= ((1+(√5))/2) and ψ:=((1−(√5))/2) You might know that f_n =((ϕ^n −ψ^n )/( (√5))) from that we can compute: X=f_n ^( 3) +f_(n+1) ^( 3) −f_(n−1) ^( 3) =(1/( (√5)))×(1/5)((ϕ^n −ψ^n )^3 +(ϕ^(n+1) −ψ^(n+1) )^3 −(ϕ^(n−1) −ψ^(n−1) )^3 ) =(1/( (√5)))×(1/5)(ϕ^(3n) −3ϕ^(2n) ψ^n +3ϕ^n ψ^(2n) −ψ^(3n) +ϕ^(3n+3) −3ϕ^(2n+2) ψ^(n+1) +3ϕ^(n+1) ψ^(2n+2) −ψ^(3n+3) −ϕ^(3n−3) +3ϕ^(2n−2) ψ^(n−1) −3ϕ^(n−1) ψ^(2n−2) +ψ^(3n−3) ) =(1/5)(f_(3n) +f_(3n+3) −f_(3n−3) )+(3/(5×(√5)))(−ϕ^(2n) ψ^n +ϕ^n ψ^(2n) −ϕ^(2n+2) ψ^(n+1) +ϕ^(n+1) ψ^(2n+2) +ϕ^(2n−2) ψ^(n−1) −ϕ^(n−1) ψ^(2n−2) ) =(1/5)(f_(3n) +f_(3n+1) +f_(3n+2) −f_(3n−3) ) +((3ϕ^(n−1) ψ^(n−1) )/(5×(√5)))(−ϕ^(n+1) ψ+ϕψ^(n+1) −ϕ^(n+3) ψ^2 +ϕ^2 ψ^(n+3) +ϕ^(n−1) −ψ^(n−1) ) =(1/5)(f_(3n) +f_(3n) +f_(3n−1) +f_(3n+1) +f_(3n) −f_(3n−3) ) +((3ϕ^(n−1) ψ^(n−1) )/(5×(√5)))(−ϕ^(n+1) ψ+ϕψ^(n+1) −ϕ^(n+3) ψ^2 +ϕ^2 ψ^(n+3) +ϕ^(n−1) −ψ^(n−1) ) Now this is the moment where you use the fact that ψ=((−1)/ϕ) X=(1/5)(3f_(3n) +f_(3n−1) +f_(3n) +f_(3n−1) −f_(3n−3) ) +((3(−1)^(n+1) )/(5(√5)))(ϕ^n −ψ^n −ϕ^(n+1) +ψ^(n−1) +ϕ^(n−1) −ψ^(n−1) ) =(1/5)(4f_(3n) +f_(3n−1) +f_(3n−2) +f_(3n−3) −f_(3n−3) ) +((3(−1)^(n+1) )/5)(f_(n−1) +f_n −f_(n+1) ) =(1/5)(4f_(3n) +f_(3n−1) +f_(3n−2) )+0 =(1/5)(4f_(3n) +f_(3n) ) =f_(3n) _□ There you go.
$$\mathrm{Let}\:\varphi:=\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\psi:=\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{You}\:\mathrm{might}\:\mathrm{know}\:\mathrm{that}\:{f}_{{n}} =\frac{\varphi^{{n}} −\psi^{{n}} }{\:\sqrt{\mathrm{5}}} \\ $$$$\mathrm{from}\:\mathrm{that}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{compute}: \\ $$$${X}={f}_{{n}} ^{\:\:\mathrm{3}} +{f}_{{n}+\mathrm{1}} ^{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}} −{f}_{{n}−\mathrm{1}} ^{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left(\left(\varphi^{{n}} −\psi^{{n}} \right)^{\mathrm{3}} +\left(\varphi^{{n}+\mathrm{1}} −\psi^{{n}+\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{3}} −\left(\varphi^{{n}−\mathrm{1}} −\psi^{{n}−\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left(\varphi^{\mathrm{3}{n}} −\mathrm{3}\varphi^{\mathrm{2}{n}} \psi^{{n}} +\mathrm{3}\varphi^{{n}} \psi^{\mathrm{2}{n}} −\psi^{\mathrm{3}{n}} \right. \\ $$$$+\varphi^{\mathrm{3}{n}+\mathrm{3}} −\mathrm{3}\varphi^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}} \psi^{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{3}\varphi^{{n}+\mathrm{1}} \psi^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}} −\psi^{\mathrm{3}{n}+\mathrm{3}} \\ $$$$\left.−\varphi^{\mathrm{3}{n}−\mathrm{3}} +\mathrm{3}\varphi^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}} \psi^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{3}\varphi^{{n}−\mathrm{1}} \psi^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}} +\psi^{\mathrm{3}{n}−\mathrm{3}} \right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left({f}_{\mathrm{3}{n}} +{f}_{\mathrm{3}{n}+\mathrm{3}} −{f}_{\mathrm{3}{n}−\mathrm{3}} \right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}×\sqrt{\mathrm{5}}}\left(−\varphi^{\mathrm{2}{n}} \psi^{{n}} +\varphi^{{n}} \psi^{\mathrm{2}{n}} \right. \\ $$$$\left.−\varphi^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}} \psi^{{n}+\mathrm{1}} +\varphi^{{n}+\mathrm{1}} \psi^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}} +\varphi^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}} \psi^{{n}−\mathrm{1}} −\varphi^{{n}−\mathrm{1}} \psi^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}} \right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left({f}_{\mathrm{3}{n}} +{f}_{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}} +{f}_{\mathrm{3}{n}+\mathrm{2}} −{f}_{\mathrm{3}{n}−\mathrm{3}} \right) \\ $$$$+\frac{\mathrm{3}\varphi^{{n}−\mathrm{1}} \psi^{{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{5}×\sqrt{\mathrm{5}}}\left(−\varphi^{{n}+\mathrm{1}} \psi+\varphi\psi^{{n}+\mathrm{1}} −\varphi^{{n}+\mathrm{3}} \psi^{\mathrm{2}} \right. \\ $$$$\left.+\varphi^{\mathrm{2}} \psi^{{n}+\mathrm{3}} +\varphi^{{n}−\mathrm{1}} −\psi^{{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left({f}_{\mathrm{3}{n}} +{f}_{\mathrm{3}{n}} +{f}_{\mathrm{3}{n}−\mathrm{1}} +{f}_{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}} +{f}_{\mathrm{3}{n}} −{f}_{\mathrm{3}{n}−\mathrm{3}} \right) \\ $$$$+\frac{\mathrm{3}\varphi^{{n}−\mathrm{1}} \psi^{{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{5}×\sqrt{\mathrm{5}}}\left(−\varphi^{{n}+\mathrm{1}} \psi+\varphi\psi^{{n}+\mathrm{1}} −\varphi^{{n}+\mathrm{3}} \psi^{\mathrm{2}} \right. \\ $$$$\left.+\varphi^{\mathrm{2}} \psi^{{n}+\mathrm{3}} +\varphi^{{n}−\mathrm{1}} −\psi^{{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Now}\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{moment}\:\mathrm{where}\:\mathrm{you}\:\mathrm{use}\:\mathrm{the}\:\mathrm{fact} \\ $$$$\mathrm{that}\:\psi=\frac{−\mathrm{1}}{\varphi} \\ $$$${X}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left(\mathrm{3}{f}_{\mathrm{3}{n}} +{f}_{\mathrm{3}{n}−\mathrm{1}} +{f}_{\mathrm{3}{n}} +{f}_{\mathrm{3}{n}−\mathrm{1}} −{f}_{\mathrm{3}{n}−\mathrm{3}} \right) \\ $$$$+\frac{\mathrm{3}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{5}}}\left(\varphi^{{n}} −\psi^{{n}} −\varphi^{{n}+\mathrm{1}} +\psi^{{n}−\mathrm{1}} +\varphi^{{n}−\mathrm{1}} −\psi^{{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left(\mathrm{4}{f}_{\mathrm{3}{n}} +{f}_{\mathrm{3}{n}−\mathrm{1}} +{f}_{\mathrm{3}{n}−\mathrm{2}} +{f}_{\mathrm{3}{n}−\mathrm{3}} −{f}_{\mathrm{3}{n}−\mathrm{3}} \right) \\ $$$$+\frac{\mathrm{3}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{5}}\left({f}_{{n}−\mathrm{1}} +{f}_{{n}} −{f}_{{n}+\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left(\mathrm{4}{f}_{\mathrm{3}{n}} +{f}_{\mathrm{3}{n}−\mathrm{1}} +{f}_{\mathrm{3}{n}−\mathrm{2}} \right)+\mathrm{0} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left(\mathrm{4}{f}_{\mathrm{3}{n}} +{f}_{\mathrm{3}{n}} \right) \\ $$$$={f}_{\mathrm{3}{n}} \:\:_{\Box} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{There}\:\mathrm{you}\:\mathrm{go}. \\ $$

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