Question Number 194826 by cortano12 last updated on 16/Jul/23
$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{tan}\:\mathrm{19}°\:=\:{p}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{tan}\:\mathrm{7}°\:=? \\ $$
Answered by dimentri last updated on 16/Jul/23
$$\:\:\:\mathrm{tan}\:\mathrm{38}°\:=\:\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{45}°−\mathrm{7}\right) \\ $$$$\:\:\:\frac{\mathrm{2tan}\:\mathrm{19}°}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{19}°}\:=\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:\mathrm{7}°}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:\mathrm{7}°} \\ $$$$\:\:\:\frac{−\mathrm{tan}\:\mathrm{7}°+\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{7}°+\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{2}{p}}{\mathrm{1}−{p}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\left({p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\:\mathrm{tan}\:\mathrm{7}°+\mathrm{1}−{p}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}{p}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{7}°+\mathrm{2}{p} \\ $$$$\:\:\left({p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{p}−\mathrm{1}\right)\mathrm{tan}\:\mathrm{7}°={p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{p}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\begin{array}{|c|}{\mathrm{tan}\:\mathrm{7}°=\frac{{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{p}−\mathrm{1}}{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{p}−\mathrm{1}}}\\\hline\end{array} \\ $$