Question Number 195017 by mathlove last updated on 22/Jul/23
$$\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}=? \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 22/Jul/23
$$\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}=? \\ $$$${Let}\:\:\:\:\:{x}+\mathrm{1}={y} \\ $$$${y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({y}^{\mathrm{2}} +{y}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:{y}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\mid\:{y}^{\mathrm{2}} +{y}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\mid\:\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\left({x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\mathrm{0}\:\checkmark\:\mid\:\:{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}+{x}+\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}=\frac{−\mathrm{3}\pm\sqrt{\mathrm{9}−\mathrm{12}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}=\frac{−\mathrm{3}\pm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\checkmark \\ $$$$\: \\ $$
Commented by mathlove last updated on 22/Jul/23
$${thanks}\:{sir} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 22/Jul/23
$$\mathrm{AnOther}\:\mathrm{way} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}=\mathrm{1} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}=\mathrm{0} \\ $$$${x}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\mathrm{0}\:\mid\:{x}=\frac{−\mathrm{3}\pm\sqrt{\mathrm{9}−\mathrm{12}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:{x}=\frac{−\mathrm{3}\pm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 22/Jul/23
$${Still}\:{another}\:{way} \\ $$$$\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}=? \\ $$$${x}+\mathrm{1}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}}\: \\ $$$${x}+\mathrm{1}=\mathrm{1},\omega,\omega^{\mathrm{2}} \\ $$$${x}=\mathrm{0},\omega−\mathrm{1},\omega^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}=\frac{−\mathrm{1}\pm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}=\frac{−\mathrm{3}\pm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$