Question Number 195428 by mathlove last updated on 02/Aug/23
$$\mathrm{3}^{{a}} =\mathrm{7}^{{b}} =\mathrm{441} \\ $$$$\frac{{ab}}{{a}+{b}}=? \\ $$
Answered by Frix last updated on 02/Aug/23
$$\mathrm{441}=\mathrm{3}^{\mathrm{2}} \mathrm{7}^{\mathrm{2}} \\ $$$${a}=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{7}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+{r}\right) \\ $$$${b}=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{7}}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+{r}^{−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\frac{{ab}}{{a}+{b}}=\frac{\frac{\mathrm{4}\left({r}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{r}}}{\frac{\mathrm{2}\left({r}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{r}}}=\mathrm{2} \\ $$
Answered by sandy_delta last updated on 02/Aug/23
$$\mathrm{3}^{\mathrm{a}} ×\mathrm{7}^{\mathrm{b}} =\mathrm{441}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{a}} ×\mathrm{7}^{\mathrm{b}} =\left(\mathrm{3}^{\mathrm{2}} .\mathrm{7}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{a}} ×\mathrm{7}^{\mathrm{b}} =\mathrm{3}^{\mathrm{4}} .\mathrm{7}^{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{a}=\mathrm{4}\:\mathrm{and}\:\mathrm{b}=\mathrm{4} \\ $$$$\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}\:=\:\frac{\mathrm{4}.\mathrm{4}}{\mathrm{4}+\mathrm{4}}\:=\:\mathrm{2} \\ $$