Question Number 195872 by CrispyXYZ last updated on 12/Aug/23
$${z}_{\mathrm{1}} ,\:{z}_{\mathrm{2}} ,\:{z}_{\mathrm{3}} \in\mathbb{C}.\mid{z}_{\mathrm{1}} \mid=\mid{z}_{\mathrm{2}} \mid=\mid{z}_{\mathrm{3}} \mid=\mathrm{1}.\:\mathrm{Prove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\frac{\left({z}_{\mathrm{1}} +{z}_{\mathrm{2}} \right)\left({z}_{\mathrm{2}} +{z}_{\mathrm{3}} \right)\left({z}_{\mathrm{3}} +{z}_{\mathrm{1}} \right)}{{z}_{\mathrm{1}} {z}_{\mathrm{2}} {z}_{\mathrm{3}} }\in\mathbb{R}. \\ $$
Answered by AST last updated on 12/Aug/23
$$=\frac{\mathrm{2}{z}_{\mathrm{1}} {z}_{\mathrm{2}} {z}_{\mathrm{3}} +{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {z}_{\mathrm{2}} +{z}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} {z}_{\mathrm{1}} +{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {z}_{\mathrm{3}} +{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {z}_{\mathrm{3}} +{z}_{\mathrm{1}} {z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +{z}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} {z}_{\mathrm{2}} }{{z}_{\mathrm{1}} {z}_{\mathrm{2}} {z}_{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\left(\mathrm{2}+\frac{{z}_{\mathrm{1}} }{{z}_{\mathrm{3}} }+\frac{{z}_{\mathrm{3}} }{{z}_{\mathrm{2}} }+\frac{{z}_{\mathrm{1}} }{{z}_{\mathrm{2}} }+\frac{{z}_{\mathrm{2}} }{{z}_{\mathrm{1}} }+\frac{{z}_{\mathrm{2}} }{{z}_{\mathrm{3}} }+\frac{{z}_{\mathrm{3}} }{{z}_{\mathrm{1}} }\right)={P} \\ $$$${P}\in\mathbb{R}\Rightarrow{P}−\overset{\_\_} {{P}}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{2}−\mathrm{2}+\frac{{z}_{\mathrm{1}} \overset{−} {{z}}_{\mathrm{1}} −{z}_{\mathrm{3}} \overset{−} {{z}}_{\mathrm{3}} =\mathrm{1}−\mathrm{1}}{{z}_{\mathrm{1}} {z}_{\mathrm{3}} }+…=\mathrm{0}\:\:\:\blacksquare \\ $$