Question Number 195998 by Frix last updated on 15/Aug/23
$$\mathrm{We}\:\mathrm{can}\:\mathrm{transform}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get}\:\mathrm{rid}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{…} \\ $$$${a}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} +{b}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ={c}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\left({a}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} +{b}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{3}} ={c} \\ $$$${a}+{b}+\mathrm{3}{a}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} {b}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \left({a}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} +{b}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \right)={c} \\ $$$$\mathrm{3}{a}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} {b}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} {c}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ={c}−{a}−{b} \\ $$$$\mathrm{27}{abc}=\left({c}−{a}−{b}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{Is}\:\mathrm{it}\:\mathrm{possible}\:\mathrm{to}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{for} \\ $$$${a}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} +{b}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ={c}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} +{d}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{found}\:\mathrm{no}\:\mathrm{path}\:\mathrm{yet}… \\ $$