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If-n-N-and-n-2-Then-tan-1-n-1-k-2-n-arctan-1-k-lt-2-5-n-1-

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Question Number 196300 by hardmath last updated on 22/Aug/23
If → n ∈ N and n ≥ 2 Then → tan ((1/(n − 1)) Σ_(k=2) ^n arctan (1/k)) < (2/5) + (𝛄/(n − 1))
$$\mathrm{If}\:\rightarrow\:\mathrm{n}\:\in\:\mathbb{N}\:\:\:\:\:\mathrm{and}\:\:\:\:\:\mathrm{n}\:\geqslant\:\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{Then}\:\rightarrow\:\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{1}}\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{k}}=\mathrm{2}} {\overset{\boldsymbol{\mathrm{n}}} {\sum}}\:\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\right)\:<\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\:+\:\frac{\boldsymbol{\gamma}}{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{1}} \\ $$
Answered by sniper237 last updated on 22/Aug/23
n=2⇒0,5=tan(arctan(1/2))<^? 2/5 =0,4
$${n}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{0},\mathrm{5}={tan}\left({arctan}\left(\mathrm{1}/\mathrm{2}\right)\right)\overset{?} {<}\mathrm{2}/\mathrm{5}\:=\mathrm{0},\mathrm{4}\: \\ $$
Commented by hardmath last updated on 22/Aug/23
And + (𝛄/(n − 2))
$$\mathrm{And}\:\:\:+\:\frac{\boldsymbol{\gamma}}{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{2}} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 22/Aug/23
f:x→tan (x) is convex f^((2)) (x)=2(1+tg^2 (x))tg(x),∀x∈[0,(π/2)[ ⇒S=tan((1/(n−1))Σ_(k=2) ^n arctan((1/k)))≤(1/(n−1))Σ_(k=2) ^(n−1) tan (tan^(−1) (1/k)) =(1/(n−1))Σ_2 ^n (1/k)=(1/(n−1))(H_(n−1) −1) ⇒S≤(H_(n−1) /(n−1))−(1/(n−1)) H_(n−1) −ln(n)=γ+(1/(2(n−1)^2 ))−ε_n ,ε_n >0 proof usibg H_n =∫_0 ^1 ((1−x^n )/(1−x))dx...taylor expension H_(n−1) <ln(n)+γ+(1/(2(n−1))). S<(γ/(n−1))+((ln(n)−1)/(n−1))+(1/(2(n−1)^2 )) ((ln(n)−1)/(n−1))+(1/(2(n−1)^2 ))<(2/5).....E if E is True we are done E⇔ 10(n−1)(ln(n)−1)+5<4(n−1)^2 f(x)=10(x−1)(ln(x)−1)+5−4(x−1)^2 f′(x)=10(ln(x)−1)+((10)/x)(x−1)−8(x−1),x≥2 f′′(x)=((10)/x)+((10)/x^2 )−8 =((10x+10−8x^2 )/x^2 )<0 f′(2)=10(ln(2)−1)+5−8=10(ln(2)−1)−3 f′(2)<0... ln(2)<(3/(10))+1..True⇒f′<0 ⇒f(x) is decreasing f(2)=10(ln(2)−1)+1<0⇒ln(2)<1−(1/(10)).True ⇒f(x)<f(2)<0⇒E True S≤(γ/(n−1))+((ln(n)−1)/(n−1))+(1/(2(n−1)^2 ))<(γ/(n−1))+(2/5)
$$\mathrm{f}:\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{x}\right)\:\:\mathrm{is}\:\mathrm{convex} \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{tg}\left(\mathrm{x}\right),\forall\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0},\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left[\right.\right. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}=\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\right)\right)\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}\underset{\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}\left(\mathrm{H}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}\leqslant\frac{\mathrm{H}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{H}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)=\gamma+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\epsilon_{\mathrm{n}} ,\epsilon_{\mathrm{n}} >\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{proof}\:\mathrm{usibg}\:\mathrm{H}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{dx}…\mathrm{taylor}\:\mathrm{expension} \\ $$$$\mathrm{H}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} <\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)+\gamma+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)}. \\ $$$$\mathrm{S}<\frac{\gamma}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)−\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)−\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }<\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}…..\mathrm{E}\:\mathrm{if} \\ $$$$\mathrm{E}\:\mathrm{is}\:\mathrm{True}\:\mathrm{we}\:\mathrm{are}\:\mathrm{done}\:\mathrm{E}\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{10}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)−\mathrm{1}\right)+\mathrm{5}<\mathrm{4}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{10}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)−\mathrm{1}\right)+\mathrm{5}−\mathrm{4}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{f}}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{10}\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{8}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right),\mathrm{x}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{f}''\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{8} \\ $$$$=\frac{\mathrm{10x}+\mathrm{10}−\mathrm{8x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }<\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{10}\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\right)+\mathrm{5}−\mathrm{8}=\mathrm{10}\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\right)−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{2}\right)<\mathrm{0}… \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)<\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}+\mathrm{1}..\mathrm{True}\Rightarrow\mathrm{f}'<\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{decreasing} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{10}\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}<\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)<\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}.\mathrm{True} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)<\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)<\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{E}\:\mathrm{True} \\ $$$$\mathrm{S}\leqslant\frac{\gamma}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)−\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }<\frac{\gamma}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by hardmath last updated on 28/Aug/23
thanks ser very nice
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{ser}\:\mathrm{very}\:\mathrm{nice} \\ $$

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