Question Number 196459 by RoseAli last updated on 25/Aug/23
Answered by Frix last updated on 25/Aug/23
$$\mathrm{Use}\:\mathrm{Ostrogradski}'\mathrm{s}\:\mathrm{Method}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get} \\ $$$$\int\frac{{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{dx}=\frac{{x}\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}= \\ $$$$=\frac{{x}\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \:{x}}{\mathrm{2}}+{C} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{For} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\leqslant{x}\leqslant\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{2}−\frac{\pi}{\mathrm{8}} \\ $$