Question Number 196846 by mokys last updated on 01/Sep/23
$$\mathrm{2}{xy}''\:+\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}{x}\right){y}'\:+\:\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right){y}\:=\:{y} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 04/Sep/23
$$\mathrm{2xy}''+\left(\mathrm{1}−\mathrm{4x}\right)\mathrm{y}'+\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} ..\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{ze}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}'=\left(\mathrm{z}+\mathrm{z}'\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{y}''=\left(\mathrm{z}''+\mathrm{2z}'+\mathrm{z}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2x}\left(\mathrm{z}''+\mathrm{2z}'+\mathrm{z}\right)+\left(\mathrm{1}−\mathrm{4x}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{z}'\right)+\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{z}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2xz}''+\left(\mathrm{4x}+\mathrm{1}−\mathrm{4x}\right)\mathrm{z}'=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2xz}''+\mathrm{z}'=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{z}''}{\mathrm{z}'}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}}\Rightarrow\mathrm{z}'=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mid\mathrm{x}\mid}}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{z}'=\frac{\mathrm{k}}{\:\sqrt{\mid\mathrm{x}\mid}}\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{2k}\sqrt{\mid\mathrm{x}\mid}+\mathrm{c}= \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{ce}^{\mathrm{x}} +\mathrm{b}\sqrt{\mid\mathrm{x}\mid}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$ \\ $$