Question Number 196828 by ERLY last updated on 01/Sep/23
Answered by Skabetix last updated on 01/Sep/23
$$\left.\mathrm{2}.{a}\right)\:{U}_{{n}+\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{1}}{{U}_{{n}} } \\ $$$${Comme}\:{U}_{{n}} >\mathrm{0}\rightarrow{U}_{{n}} \geqslant\frac{\mathrm{1}}{{U}_{{n}} }\rightarrow{U}_{{n}+\mathrm{1}} \leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{U}_{{n}} \\ $$
Answered by a.lgnaoui last updated on 01/Sep/23
$$\:\bullet\mathrm{1}\:\mathrm{la}\:\mathrm{suute}\:\:\mathrm{est}\:\mathrm{vrai}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{n}=\mathrm{0}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{0}} =\mathrm{1}>\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{pour}\:\mathrm{n}=\mathrm{1}\:\:\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{0}} }{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{suposons}\:\mathrm{qu}\:\mathrm{il}\:\mathrm{esr}\:\mathrm{vrai}\:\:\mathrm{et}\:\mathrm{montrons} \\ $$$$\mathrm{qu}\:\mathrm{elle}\:\mathrm{est}\:\mathrm{vrai}\:\mathrm{pour}\:\boldsymbol{\mathrm{n}}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}+\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} }+\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} +\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} }} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} >\mathrm{0}\Rightarrow\:\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} }>\mathrm{0}\:\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} >\mathrm{0}\:\mathrm{our}\:\mathrm{tout}\:\mathrm{n}\in\mathbb{N} \\ $$$$\left.\bullet\mathrm{2}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\right)\:\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =−\frac{−\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}+\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \right)}\:<\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{donc}\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{u}}_{\boldsymbol{\mathrm{n}}+\mathrm{1}} <\frac{\boldsymbol{\mathrm{u}}_{\boldsymbol{\mathrm{n}}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$
Commented by a.lgnaoui last updated on 01/Sep/23
$$\mathrm{3}\bullet\mathrm{lim}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{n}\rightarrow\infty\right)=\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\right)_{\mathrm{n}\rightarrow\infty} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{plus}\:\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)<\mathrm{0}\left(\mathrm{suite}\:\mathrm{decroissante}\right) \\ $$$$\mathrm{donc}\:\:\mathrm{la}\:\mathrm{suitd}\:\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)\mathrm{est}\:\mathrm{convervente} \\ $$$$\mathrm{et}\:\mathrm{converge}\:\mathrm{vrrs}\left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$ \\ $$