Question Number 197073 by Abdullahrussell last updated on 07/Sep/23
Answered by Frix last updated on 07/Sep/23
$$\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{7}}\:\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{7}}\:\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{7}}\:={x} \\ $$$$\mathrm{Use}\:\mathrm{trigonometric}\:\mathrm{formulas}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{14}}\:+\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\:−\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{7}}\right)={x}\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Now}\:\mathrm{comes}\:\mathrm{the}\:“\mathrm{trick}'' \\ $$$$\left(\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{14}}\:+\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\:−\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{7}}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{64}{x}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{Again}\:\mathrm{use}\:\mathrm{trigonometric}\:\mathrm{formulas}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get} \\ $$$$\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{14}}\:+\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\:−\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{7}}\right)=\mathrm{64}{x}^{\mathrm{3}} \:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{4}{x}=\frac{\mathrm{256}{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{7}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:{x}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{8}} \\ $$