Question Number 197282 by cortano12 last updated on 12/Sep/23
$$\:\:\:\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\right)}\:=? \\ $$
Answered by MM42 last updated on 12/Sep/23
$${lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:\frac{{sin}^{\mathrm{2}} {x}−{x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{2}} −{sinx}^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} \left({cos}^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{1}+\mathrm{1}−{cosx}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:\frac{\left({sinx}+{x}\right)\left({sinx}−{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{x}^{\mathrm{6}} }{{x}^{\mathrm{2}} \left(\left({cosx}−\mathrm{1}\right)\left({cosx}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{4}} \right)} \\ $$$$={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:\frac{\left(\mathrm{2}{x}\right)\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{x}^{\mathrm{3}} \right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{x}^{\mathrm{6}} }{{x}^{\mathrm{2}} \left(\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{2}} \right)\left({cosx}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{4}} \right)} \\ $$$$={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{x}^{\mathrm{6}} }{−{x}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{6}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\checkmark \\ $$$$ \\ $$