Question Number 197301 by uchihayahia last updated on 13/Sep/23
$$ \\ $$$$\:{how}\:{do}\:{i}\:{calculate}\:{this} \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow-\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:{multiplying}\:{both}\:{numerator} \\ $$$$\:{and}\:{denumerator}\:{by}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow-\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{4}} }}{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\frac{\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{0}+\mathrm{0}−\mathrm{0}}{\mathrm{0}+\mathrm{0}+\mathrm{0}−\mathrm{0}} \\ $$$$\:\infty \\ $$$$\:{which}\:{is}\:{not}\:{true}\:{the}\:{answer}\:{is}\:-\infty, \\ $$$$\:{i}\:{tried}\:{multiplying}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:{and}\:{got}\:-\infty \\ $$$$\:{but}\:{still}\:{confused}\:{what}\:{did}\:{i}\:{do}\:{wrong} \\ $$$$\:{using}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$ \\ $$
Answered by AST last updated on 13/Sep/23
$$\frac{{x}\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$={x}−\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}−\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$={x}−\mathrm{2}−\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}−\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}}={x}−\mathrm{2}−\frac{\frac{\mathrm{5}}{{x}}+\frac{\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{3}} }}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }} \\ $$$$\rightarrow−\infty \\ $$
Commented by uchihayahia last updated on 16/Sep/23
$${thank}\:{you},\:{i}\:{always}\:{thought}\:{i}\:{should} \\ $$$$\:{divide}\:{both}\:{by}\:{x}^{{n}} ,\:{m}\:{is}\:{highest}\:{degree} \\ $$