Question Number 197419 by universe last updated on 16/Sep/23
Answered by cortano12 last updated on 17/Sep/23
$$\:\:\:\:\begin{cases}{\left(\mathrm{2a}\right)^{\mathrm{ln}\:\mathrm{a}} \:=\:\left(\mathrm{bc}\right)^{\mathrm{ln}\:\mathrm{b}} }\\{\mathrm{b}^{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{a}^{\mathrm{ln}\:\mathrm{c}} \:}\end{cases} \\ $$$$\:\:\:\:\:\begin{cases}{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2a}\right).\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{a}\right)\:=\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{b}\right).\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{bc}\right)}\\{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{b}\right).\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}\right)=\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{c}\right).\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{a}\right)}\end{cases} \\ $$$$\:\:\Rightarrow\mathrm{ln}\:\mathrm{a}\:\left\{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}+\mathrm{ln}\:\mathrm{a}\right\}=\:\mathrm{ln}\:\mathrm{b}\:\left\{\mathrm{ln}\:\mathrm{b}+\mathrm{ln}\:\mathrm{c}\:\right\} \\ $$$$\:\:\mathrm{ln}\:\mathrm{a}\:\left\{\:\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{c}\:.\mathrm{ln}\:\mathrm{a}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{b}}\:+\:\mathrm{ln}\:\mathrm{a}\:\right\}=\:\mathrm{ln}\:\mathrm{b}\:\left\{\mathrm{ln}\:\mathrm{b}+\mathrm{ln}\:\mathrm{c}\right\} \\ $$$$\:\mathrm{ln}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{a}\:\left\{\:\mathrm{ln}\:\mathrm{c}\:+\:\mathrm{ln}\:\mathrm{b}\:\right\}=\:\mathrm{ln}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{b}\:\left\{\mathrm{ln}\:\mathrm{b}+\mathrm{ln}\:\mathrm{c}\:\right\} \\ $$$$\:\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{c}+\mathrm{ln}\:\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{a}−\mathrm{ln}\:\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{a}+\mathrm{ln}\:\mathrm{b}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\begin{cases}{\mathrm{ln}\:\mathrm{c}=−\mathrm{ln}\:\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{bc}=\:\mathrm{1}}\\{\mathrm{ln}\:\mathrm{a}\:=\:\mathrm{0}\Rightarrow\:\mathrm{a}=\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\:\:\: \\ $$